Question

Seja f: R ->R definida por:

f(x) = x^2 -4 se x>=1 e
f(x) = -8x-2 se x<1

A f é derivável no ponto Xo=1 ? Provar

Answer 1

$\text{Teremos que usar a de\f fini{\c c}\~ao de derivadas como um limite incremental} \\ \\f'(x)=\displaystyle\lim_{x \to x_0} \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\\ \\ \text{Para que esse limite exista os limites laterais de x_0 devem existir e serem iguais} \\ \\ f'_+(1)=\displaystyle\lim_{x \to 1^+} \dfrac{x^2-4+3}{x-1}=\displaystyle\lim_{x \to 1^+} \dfrac{x^2-1}{x-1}=\displaystyle\lim_{x \to 1^+} \dfrac{x^2-4+3}{x-1}=\displaystyle\lim_{x \to 1^+} \dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}}= \\ \displaystyle\lim_{x \to 1^+} x+1=2\\ \\ \\ f'_-(1) = \displaystyle\lim_{x \to 1^-} \dfrac{-8x-2+3}{x-1}=\displaystyle\lim_{x \to 1^-} \dfrac{-8x+1}{x-1}=\displaystyle\lim_{x \to 1^-} \dfrac{-8+1}{1-1}=\displaystyle\lim_{x \to 1^-} \dfrac{-7}{0} = \nexists\\ \\ \\ \text{Os limites laterais s\~ao diferentes logo f(x) n\~ao \'e deriv\'avel em x_0 = 1 }$