Question

Seja f: IR->IR uma função definida por f(x) = x. (x-1). O valor determinante da matriz é
F(0) F(1) F(2)
F(1) F(2) F(3) É
F(2) F(3) F(4)

Answer 1

O determinante procurado é $\mathsf{-8.}$

Temos a função:

$\begin{matrix} </p><p>\mathsf{f} \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\</p><p> x \mapsto \mathsf{f(x) = x \cdot (x-1)} </p><p>\end{matrix}$

Queremos o valor do determinante:

$\begin{vmatrix} </p><p>f(0) & f(1) & f(2) \\</p><p>f(1) & f(2) & f(3) \\</p><p>f(2) & f(3) & f(4)</p><p>\end{vmatrix}$

De início, vamos calcular as imagens desses números pela função dada.

• $\mathsf{f(0)= 0 \cdot (0-1)=0}$
• $\mathsf{f(1)=1 \cdot (1-1) = 1 \cdot 0 = 0}$
• $\mathsf{f(2)=2 \cdot (2-1) </li><li>=2 \cdot 1=2}$
• $\mathsf{f(3)=3 \cdot (3-1)= 3 \cdot 2 =6}$
• $\mathsf{f(4)=4 \cdot (4-1) = 4 \cdot 3 = 12}$

Portanto, o determinante que precisamos calcular é:

$\begin{vmatrix} </p><p>0 & 0 & 2 \\</p><p>0 & 2 & 6 \\</p><p>2 & 6 & 12</p><p>\end{vmatrix}$

Uma das propriedades dos determinantes diz que se, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal secundária são nulos, então o determinante dela é igual ao produto dos elementos dessa diagonal pelo valor de $\mathsf{(-1)^</strong><strong>{</strong><strong>(</strong><strong>\</strong><strong>dfrac</strong><strong>{</strong><strong>n</strong><strong>(</strong><strong>n-1</strong><strong>)</strong><strong>}</strong><strong>{</strong><strong>2</strong><strong>}</strong><strong>}</strong><strong>,</strong><strong>}$ em que $\mathsf{n}$ é a ordem da matriz.

Dessa maneira, temos:

$\begin{vmatrix} </p><p>0 & 0 & 2 \\</p><p>0 & 2 & 6 \\</p><p>2 & 6 & 12</p><p>\end{vmatrix} =\mathsf{(-1)^{3} \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = -8. }$