Question

Seja f :  → , definida pela lei f(x) = 3x – 2. a) DETERMINE f –1 (x). b) DETERMINE f –1 (– 5). c) REPRESENTE os gráficos de f(x) e f –1 (x) em um mesmo plano cartesiano e DETERMINE as coordenadas do ponto de interseção dos gráficos obtidos.

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

a) $\sf f(x)=3x-2$

$\sf y=3x-2$

Substituindo $\sf x$ por $\sf y$ e $\sf y$ por $\sf x$:

$\sf x=3y-2$

Isolando $\sf y$:

$\sf 3y=x+2$

$\sf y=\dfrac{x+2}{3}$

$\sf f^{-1}(x)=\dfrac{x+2}{3}$

b) $\sf f^{-1}(-5)=\dfrac{-5+2}{3}$

$\sf f^{-1}(-5)=\dfrac{-3}{3}$

$\sf f^{-1}(x)=-1$

c)

I) Gráfico de $\sf f(x)$

$\sf y=3x-2$

• Para $\sf y=0$:

$\sf 3x-2=0$

$\sf 3x=2$

$\sf x=\dfrac{2}{3}$

O gráfico de $\sf f(x)$ intercepta o eixo $\sf x$ no ponto $\sf \left(\dfrac{2}{3},0\right)$

• Para $\sf x=0$

$\sf y=3\cdot0-2$

$\sf y=0-2$

$\sf y=-2$

O gráfico de $\sf f(x)$ intercepta o eixo $\sf y$ no ponto $\sf (0,-2)$

O gráfico está em anexo (em azul)

II) Gráfico de $\sf f^{-1}(x)$

$\sf y=\dfrac{x+2}{3}$

• Para $\sf y=0$:

$\sf \dfrac{x+2}{3}=0$

$\sf x+2=0$

$\sf x=-2$

O gráfico de $\sf f^{-1}(x)$ intercepta o eixo $\sf x$ no ponto $\sf (-2,0)$

• Para $\sf x=0$

$\sf y=\dfrac{0+2}{3}$

$\sf y=\dfrac{2}{3}$

O gráfico de $\sf f^{-1}(x)$ intercepta o eixo $\sf y$ no ponto $\sf \left(0,\dfrac{2}{3}\right)$

O gráfico está em anexo (em vermelho)

III) Ponto de interseção

• $\sf f(x)=3x-2$

• $\sf f^{-1}(x)=\dfrac{x+2}{3}$

Igualando $\sf f(x)~e~f^{-1}(x)$:

$\sf 3x-2=\dfrac{x+2}{3}$

$\sf 3\cdot(3x-2)=x+2$

$\sf 9x-6=x+2$

$\sf 9x-x=2+6$

$\sf 8x=8$

$\sf x=\dfrac{8}{8}$

$\sf x=1$

Substituindo em $\sf f(x)$:

$\sf f(1)=3\cdot1-2$

$\sf f(1)=3-2$

$\sf f(1)=1$

O ponto de interseção é $\sf (1,1)$