Matemática, perguntado por sofiarabelo7, 4 meses atrás

Seja f a função representada pelo gráfico abaixo:

Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por CyberKirito

Após a realização dos cálculos✍️,podemos concluir mediante ao conhecimento de função de 1º grau e integral definida que:

a) a lei da função é f(x)=-2x+5✅

b) a área da figura abaixo da gráfico entre x=-3 e x=2 é A=30 u•a✅

c) a ordenada onde o gráfico intercepta o eixo vertical é 5 ✅

d) a raiz da função é $\sf x=\dfrac{5}{2}$ ✅

Função de 1ºgrau

Chama-se função de 1º grau a toda função $\sf f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ definida por $\sf f(x)=ax+b,a\ne0$

Coeficiente angular

Dado os pontos $\sf A(x_A,y_A),B(x_B,y_B)$ podemos obter o coeficiente angular m pela relação

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\end{array}}$ .

Equação da reta na forma ponto- coeficiente angular

Dado um um ponto $\sf P(x_0,y_0)$ e um coeficiente angular m qualquer, a equação da reta em função do ponto e do coeficiente angular é

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf y=y_0+m(x-x_0)\end{array}}$

Aplicação da integral definida

O teorema fundamental do cálculo nos garante que a integral definida entre os limites de integração x=a e x=b representa a área sob a curva.

matematicamente:

$\displaystyle\sf\int_a^b f(x)\,dx=\bigg[g(x)\bigg]_a^b=g(b)-g(a)$

Regras básicas de integração indefinida

$\displaystyle\sf 1)\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+k,n\ne-1$
$\displaystyle\sf 2)\int[f(x)\pm g(x)]\,dx=\int f(x)\,dx\pm\int g(x)dx$
$\displaystyle\sf 3)\int a\cdot f(x)\,dx=a\int f(x)\,dx,a\in\mathbb{R}$
$\displaystyle\sf 4)\int dx=x+k$

✍️Vamos a resolução da questão

a) Aqui perceba que um dos pontos em destaque no gráfico é

$\sf A(-3,11)$ e $\sf B(2,1)$ .

Cálculo do coeficiente angular:

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\\\\\sf m=\dfrac{1-11}{2-(-3)}\\\\\sf m=\dfrac{-10}{2+3}\\\\\sf m=\dfrac{-10}{5}\\\\\sf m=-2\end{array}}$

Usando o ponto $\sf B(2,1)$ temos:

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf y=y_0+m(x-x_0)\\\sf y=1-2(x-2)\\\sf y=1-2x+4\\\sf y=-2x+5\\\sf f(x)=-2x+5\end{array}}$

b) Vamos encontrar a área de duas maneiras:

usando integral definida
usando a geometria elementar.

Pela integral definida:

Aqui perceba que os limites de integração da função pedida são x=-3 e x=2. Calculando a integral neste intervalo iremos obter a área pedida.

$\large\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf A=\int_{-3}^2(-2x+5)\,dx\\\displaystyle\sf A=-2\int_{-3}^2x\,dx+5\int_{-3}^2dx\\\\\displaystyle\sf A=\bigg[-2\cdot\dfrac{x^{1+1}}{1+1}+5x\bigg]_{-3}^2\\\\\sf A=\bigg[-x^2+5x\bigg]_{-3}^2\\\\\sf A=-(2)^2+5\cdot2-[-(-3)^2+5\cdot(-3)]\\\sf A=-4+10-[-9-15]\\\sf A=6-[-24]\\\sf A=6+24\\\sf A=30~u\cdot a\end{array}}$

Pela geometria elementar

Perceba que no intervalo de que vai de x=-3 até x=2 a figura formada é um trapézio de base maior 11, base menor 1 e altura 5. usando a fórmula da área do trapézio teremos:

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf A=\dfrac{(B+b)\cdot h}{2}\\\\\sf A=\dfrac{(11+1)\cdot5}{2}\\\\\sf A=\dfrac{\diagdown\!\!\!\!\!\!12\cdot5}{\diagdown\!\!\!\!2}\\\\\sf A=6\cdot5\\\sf A=30\,u\cdot a\end{array}}$