Seja F a função quadrática dada por f(x)=x²-(k+2)x+(2k+4). Sabendo que os zeros de F são diferentes e que um zero é o dobro do outro, determine o valor de K, com K e Z, e dos zeros dessa função.
Soluções para a tarefa
O valor de k, com k ∈ Z, é 7 e os zeros dessa função são 3 e 6.
Como temos uma função quadrática, então vamos utilizar a fórmula de Bhaskara.
Sendo assim, temos que:
Δ = (-k - 2)² - 4.1.(2k + 4)
Δ = k² + 4k + 4 - 8k - 16
Δ = k² - 4k - 12.
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De acordo com o enunciado, um zero é o dobro do outro.
Então, podemos considerar que x' = 2x''.
Então:
k + 2 + √Δ = 2(k + 2 - √Δ)
k + 2 + √Δ = 2k + 4 - 2√Δ
2k - k + 4 - 2 - 2√Δ - √Δ = 0
k + 2 - 3√Δ = 0
k + 2 = 3√Δ
9Δ = (k + 2)².
Inicialmente, calculamos o valor de delta. Então, substituindo-o na expressão acima:
9(k² - 4k - 12) = (k + 2)²
9k² - 36k - 108 = k² + 4k + 4
8k² - 40k - 112 = 0.
k = -2 ou k = 7.
Entretanto, não podemos ter k = -2, pois assim teremos a função
f(x) = x² - (-2 + 2)x + (2.(-2) + 4)
f(x) = x² - 0x + (-4 + 4)
f(x) = x².
Tal função não tem dois zeros diferentes.
Portanto, o valor de k é 7.
Assim, teremos a função f(x) = x² - 9x + 18.
Substituindo o valor de k no valor Δ = k² - 4k - 12, obtemos:
Δ = 7² - 4.7 - 12
Δ = 49 - 28 - 12
Δ = 9.
Logo, as raízes são:
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