Question

Seja f a função definida por f (x) = 4x3 cuja inversa é a função g . O valor de g'(32) é?

A
4/3.
B
1/32.
C
1/48.
D
1/4096.
E
1/6.211

Answer 1

Primeiro, é necessário obter a função inversa, denominada g pelo enunciado. Para obter g, é necessário isolar x em f(x):

$4x^3 = y \\ \\x^3 = \frac{y}{4} \\ \\x = \sqrt[3]{ \frac{y}{4} }$

Logo, a função inversa g*:

$\boxed{g(x) = \sqrt[3]{ \frac{x}{4} }}$

* Substituiu-se x por g, e y por x.

A derivada de g (g') pode ser calculada pela regra da derivada da potência. Observe:

$g(x) = \sqrt[3]{ \frac{x}{4} } \\ \\g(x) = \frac{x^{\frac{1}{3} }}{4^\frac{1}{3} } \\ \\g'(x) = \frac{\frac{1}{3} \cdot x^{- \frac{2}{3} }}{4^\frac{1}{3}} \\ \\\\\boxed{g'(x) = \frac{1}{3 \sqrt[3]{4x^2} }}$

Agora, basta calcular g'(32), isto é, substituir x = 32. Portanto:

$g'(x) = \frac{1}{3 \sqrt[3]{4x^2} } \\ \\g'(32) = \frac{1}{3 \cdot \sqrt[3]{4 \cdot 32^2} } \\ \\g'(32) = \frac{1}{3 \cdot \sqrt[3]{4096} } \\ \\\\g'(32) = \frac{1}{3 \cdot 16} \\ \\\\\boxed{\boxed{g'(32) = \frac{1}{48}}}$