Question

Seja F a função definida por a função na imagem
Demonstre que se g'(a) existe ,f é contínua em a

Answer 1

Para provar que $f$ é contínua no ponto $x=a$, basta verificar que:
$\lim\limits_{x\to a} f(x) = f(a).$

Supomos então que $g$ é diferenciável em $a$, ou seja, existe $g'(a)$.

Ora, da definição de $f$ tem-se:
$f(a) = g'(a).$

Por outro lado, da definição de derivada da função $g$ no ponto $x=a$, sabe-se que:
$\lim\limits_{x\to a} f(x) = \lim\limits_{x\to a} \dfrac{g(x)-g(a)}{x-a} = g'(a).$

Fica então provado que:
$\lim\limits_{x\to a} f(x) = \lim\limits_{x\to a} \dfrac{g(x)-g(a)}{x-a} = g'(a) = f(a).$

Assim, se $g'(a)$ existe, a função $f$ é contínua em $a$.