Question

Seja f a função definida para todos os números reais por f(x) = 3x + 4. Qual a derivada de f no ponto de abscissa 2?

Answer 1

Para fazer essa derivação vamos usar o método mais rústico, que é pela definição:

$\boxed{f'(2) = \lim_{\Delta x\to0} \frac{f(\Delta x + 2) - f(2)}{\Delta x} }$

Vamos começar calculando a função f(∆x + x), para fazer isso devemos substituir no lugar de "x" o que está dentro do parêntese:

$f(x) = 3x + 4\Longrightarrow f(\Delta x + 2) = 3.(\Delta x + 2) + 4 \\ \\ f(\Delta x + 2) = 3\Delta x + 6 + 4\Longrightarrow f(\Delta x + 2) = 3\Delta x + 10$

Substituindo a função e essa que acabamos de encontrar na definição, temos:

$f'(2) = \lim_{\Delta x\to0} \frac{3\Delta x + 10- 3.2 - 4}{\Delta x} \\ \\ f'(2) = \lim_{\Delta x\to0} \frac{3\Delta x + 10-6 - 4}{\Delta x} \\ \\ f'(2) = \lim_{\Delta x\to0} \frac{3\Delta x}{\Delta x} \\ \\ f'(2) = \lim_{\Delta x\to0} 3 \\ \\ \boxed{ \boxed{ \boxed{ \boxed{f'(2) = 3}}}}$

Espero ter ajudado