Question

Seja f a função definda por f(x) = { 2x - 1, se x ≠ 2 , 1, se x = 2

Analise as afirmac ̧oes abaixo: ̃

(i) O limite limx→2 f(x) existe e limx→2 f(x) = 3;

(ii) O valor de f(2) e igual a 1;

(iii) A função f(x) não é contínua para x = 2 pois limx→2 f(x) ≠ f(2).


Assinale a unica alternativa correta.

(a) Apenas a afirmação (i) e verdadeira.

(b) Apenas a afirmação ̃ (ii) e verdadeira.

(c) Apenas as afirmação ̃ (i) e (ii) sao verdadeiras.

(d) Apenas as afirmação (ii) e (iii) sao verdadeiras.

(e) As afirmação (i), (ii), (iii) sao todas verdadeiras e as afirmação (i) e (ii) justificam a afirmação

(iii).

Answer 1

Temos a seguinte função:

$f(x) = \begin{cases}2x - 1, \: se \: x \neq 2 \\ 1 , \: se \: x = 2 \end{cases}$

Para fazer essa questão, devemos verificar a continuidade da função, ou seja, devemos seguir os seguintes passos:

$1) \: f(x) \to definida \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ 2)\lim_{x\to a^{+} } f(x)= \lim_{x\to a^{-}}f(x) \\ 3)\lim_{x\to a^{} }f(x) = f(x) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

• Restrição 1:

A função deve ser definida em tal ponto.

• Restrição 2:

Os limites laterais devem ser iguais.

• Restrição 3:

O valor do limite bilateral deve ser igual ao valor da função definida no tal ponto.

Vamos começar a fazer essas verificações:

Quando "x" é igual a 2 a função possui o valor igual a "1", então podemos dizer que ela é sim definida:

$f(2) = 1$

O limite é a aproximação de um valor, ou seja, devemos usar a função quando "x" é diferente de 2, logo:

$\lim_{x\to 2^{+} } 2x - 1= \lim_{x\to 2^{-}}2x - 1$

Resolvendo:

$\lim_{x\to 2^{+} } 2x - 1= \lim_{x\to 2^{-}}2x - 1 \\ 2.2 - 1 = 2.2 - 1 \\ 4 - 1 = 4 - 1 \\ 3 = 3 \to \exists\lim_{x\to 2 {}}f(x)$

Por fim, o valor da função deve ser igual ao limite bilateral:

$f(2) = 1 \: \: e \: \: \lim_{x\to 2^{} }f(x) = 3 \\ \\ f(2) \neq \lim_{x\to 2^{} }f(x)$

Portanto podemos dizer que:

(i) O limite limx→2 f(x) existe e limx→2 f(x) = 3;

R: Essa afirmação está correta.

(ii) O valor de f(2) e igual a 1;

R: Essa afirmação está correta.

(iii) A função f(x) não é contínua para x = 2 pois limx→2 f(x) ≠ f(2).

R: Essa afirmação está correta.

Espero ter ajudado