Matemática, perguntado por ShinyComet, 4 meses atrás

Seja f a função dada por: $f(x)=\dfrac{\sinh(x)-e^{-x}}{\cosh^2(x)}$

Determine a primitiva desta função.

Nota: Caso necessário, use a Fórmula de Redução: $\displaystyle\int{\!\!\dfrac{1}{(au^2+b)^n}}\;du\;=\;\dfrac{2n-3}{2b(n-1)}\int{\!\!\dfrac{1}{(au^2+b)^{n-1}}}\;du+\dfrac{u}{2b(n-1)(au^2+b)^{n-1}}$

ShinyComet: Não, é para encontrar a Primitiva (o Integral) de f.

Soluções para a tarefa

Respondido por Buckethead1

✅ A primitiva da função $\rm f$ é a família de funções do tipo $\rm F(x)=-2[sech(x)+\arctan(e^x)]+\mathbb{C}$

☁️ Funções trigonométricas hiperbólicas: Partindo da trigonometria circular, define-se $\rm\sin(x)$ e $\rm\cos(x)$ como ordenada e abscissa, respectivamente, de um ponto [ $\rm P(\cos(x);\sin(x))$ ] pertencente ao bordo do círculo unitário $\rm x^2+y^2=1$ . Por isso, convém e é útil utilizar tais funções para parametrizar uma circunferência.

Nesse sentido, surge a necessidade de parametrizar a hipérbole

$\Large\underline{\boxed{\boxed{\rm\qquad \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1~,~(a,b)>0 \qquad}}}$

Para tanto, bem como na trigonometria circular, é necessário definir duas funções e evidenciar a nova trigonometria hiperbólica, tais funções são:

$\Large\underline{\boxed{\boxed{\qquad\begin{array}{lr}\rm \cosh(x)=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\\\\\rm\sinh(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}\end{array}\qquad}}}$

Por fim, gerando a parametrização ( a alternância de sinais permite capturar os dois ramos da hipérbole )

$\large\begin{array}{lr}\rm\begin{cases}\rm x=\pm a\cosh(t)\\\rm y=\pm b\sinh(t)\end{cases} \qquad\forall\:t\in\mathbb{R}\end{array}$

Admitindo a parametrização, é visível que os pontos continuam a satisfazer a equação da hipérbole, haja vista que admitindo $\rm a = b = 1$ , resulta na identidade fundamental

$\large\begin{array}{lr}\rm\cosh^2(t)-\sinh^2(t) = 1\end{array}$

ℹ️ Há uma teoria robusta para a trigonometria hiperbólica que se assemelha bastante à trigonometria circular e por vezes chega a ser uma extensão natural. Usando esse fato, irei pular etapas e apresentar a definição de $\rm sech(x)$

$\Large\underline{\boxed{\boxed{\rm\qquad sech(x)=\dfrac{2}{e^x+e^{-x}}=\dfrac{1}{\cosh(x)} \qquad}}}$

✍️ Solução: Vamos quebrar a integral via linearidade e utilizar a definição acima

$\large\begin{array}{lr}\displaystyle\rm\int\dfrac{\sinh(x)-e^{-x}}{\cosh^2(x)}\,dx=\underbrace{\rm\int\dfrac{\sinh(x)}{\cosh^2(x)}\,dx}_{\star}-\overbrace{\rm\int sech^2(x)e^{-x}\,dx}^{\star\star} \end{array}$

❐ Resolvendo $\star$ por uma substituição simples,

$\large\begin{array}{lr}\rm N=\cosh(x) \Leftrightarrow dN=\sinh(x)dx\end{array}$

obteremos:

$\large\begin{array}{lr}\begin{aligned}\displaystyle\rm\int\dfrac{\sinh(x)}{\cosh^2(x)}\,dx &=\displaystyle\rm\int\dfrac{dN}{N^2} \\\\&=\displaystyle\rm -\frac{1}{N}\end{aligned}\\\\\underline{\boxed{\boxed{\rm\therefore\: \displaystyle\rm\int\dfrac{\sinh(x)}{\cosh^2(x)}\,dx = -sech(x) + \mathbb{C}_1 }}}\end{array}$

❐ Para resolver $\rm \star\star$ , é necessário observar que uma substituição trigonométrica estará envolvida no desenvolvimento devido a definição de $\rm sech(x)$

$\large\begin{array}{lr}\displaystyle\rm\int sech^2(x)e^{-x}\,dx = \int\left[\frac{2}{e^x + e^{-x}}\right]^2 e^{-x}\,dx \end{array}$

❐ Para resolver aquele problema do $\rm e^{-x}$ multiplicando, é útil multiplicar numerador e denominador por $\rm e^{x}$

$\large\begin{array}{lr}\displaystyle\rm\int\left[\frac{2}{e^x + e^{-x}}\cdot\frac{e^x}{e^x}\right]^2 e^{-x}\,dx = \int\left[\frac{2e^{x}}{e^{2x} + 1}\right]^2e^{-x}\,dx = \int\frac{4e^{x}}{(e^{2x} + 1)^2 }\,dx \end{array}$

❐ Fazendo a substituição $\rm N = e^x \Leftrightarrow dN = e^xdx$ e aplicando a expressão de redução proposta, obteremos

$\large\begin{array}{lr}\displaystyle\rm4\int\frac{dN}{(N^2 + 1)^2} = 2\int\frac{dN}{N^2 + 1} + \frac{2N}{N^2 + 1} \end{array}$

❐ A integral que resta é elementar, porém, realizando a substituição trigonométrica $\rm N = \tan(\phi) \Leftrightarrow dN = \sec^2(\phi)d\phi$

$\large\begin{array}{lr}\begin{aligned}\displaystyle\rm 2\int\frac{dN}{N^2 + 1} + \frac{2N}{N^2 + 1} &=\displaystyle\rm 2\int\dfrac{\cancel{\sec^2(\phi)}}{\cancel{\tan^2(\phi) + 1}}\,d\phi + \frac{2N}{N^2 + 1} \\\\&=\displaystyle\rm 2\int\,d\phi + \frac{2N}{N^2 + 1} \\\\&=\displaystyle\rm 2\phi +\frac{2N}{N^2 + 1}\\\\&=\rm 2\arctan(e^x) + \frac{2e^x}{e^{2x} + 1} \end{aligned}\\\\\underline{\boxed{\boxed{\displaystyle\rm\therefore\: \int\frac{4e^x}{(e^{2x} + 1)^2}\,dx = 2\arctan(e^x) + sech(x) + \mathbb{C}_2 }}}\end{array}$

✔️ Agrupando os resultados [ $(\star) - (\star\star)$ ], obteremos finalmente, a solução geral:

$\large\begin{array}{lr} \red{\underline{\boxed{\boxed{\displaystyle\rm \therefore\:\int\dfrac{\sinh(x)-e^{-x}}{\cosh^2(x)}\,dx = -2\left[sech(x) + \arctan(e^x) \right] +\mathbb{C} }}}}\\\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\blacksquare\end{array}$