Question

Seja f(2x − 3) = 12x − 16. Qual a função inversa de f(x)?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Exidhani, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se a função inversa de f(x), sabendo-se que:

f(2x-3) = 12x - 16.

ii) Veja: primeiro vamos encontrar qual é a função que dá f(x). Para isso, faremos o seguinte: igualaremos "2x-3" a um certo "d", ficando assim:

2x-3 = d
2x = d+3 --- isolando "x", teremos;
x = (d+3)/2.

iii) Então vamos em f(2x-3) = 12x - 16 e, no lugar de "x" colocaremos "(d+3)/2". Assim, fazendo isso, teremos;

f[2*(d+3)/2 - 3] = 12*(d+3)/2 - 16 ---- desenvolvendo, ficaremos com:
f(d+3-3) = (12d+36)/2 - 16
f(d) = 6d + 18 - 16 ---- reduzindo os termos semelhantes, temos:
f(d) = 6d + 2 ---- agora é só trocar "d" por "x" e teremos f(x). Assim:
f(x) = 6x + 2 <--- Esta é a forma da função f(x).

iv) Agora que já temos qual é a representação de f(x), vamos encontrar a sua inversa. Vamos repetir a função f(x), que é esta:

f(x) = 6x + 2 --- ou, trocando f(x) por "y", teremos:
y = 6x + 2

Para encontrar a inversa, vamos fazer o seguinte: trocaremos "x" por "y" e "y" por "x", com o que ficaremos assim:

x = 6y + 2 --- agora é só isolar "y" e teremos a inversa. Para isso, vamos passar "2" para o 1º membro, ficando:

x - 2 = 6y --- ou, invertendo-se, o que dá no mesmo:
6y = x - 2 ---- isolando "y", teremos;
y = (x-2)/6 <--- Esta é a inversa pedida. Vamos apenas chamar a inversa pela sua denominação internacional, que é f⁻¹(x). Assim, fazendo isso, teremos:

f⁻¹(x) = (x-2)/6  <--- Esta é a resposta. Ou seja, esta é a função inversa da função original, que era: f(x) = 6x + 2.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.