Question

Seja f:[0,4]→R a função

f(x) = 5x^3 − 34x^2 + 64x + 16

Determine o valor de x no domínio de f em que a função f possui seu valor mínimo absoluto no intervalo em que ela está definida. Responda abaixo o valor correto de x em que a função f possui seu valor mínimo absoluto no intervalo em que ela está definida usando pelo menos 6 dígitos decimais (se possível) em sua resposta.



Observação 1: Utilize sempre em seus cálculos, pelo menos, 6 dígitos decimais.

Answer 1

x = 0 é o valor de mínimo absoluto pra função nesse intervalo.

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Máximo e mínimo valor de uma função

Umas das ferramentas básicas da matemática para encontrar o mínimo e o máximo de uma função em um intervalo é calcular sua derivada. Se a derivada de uma função é nula para certo $x = c$, logo $c$ é um ponto de máximo ou de mínimo. A segunda derivada, por sua vez, ajuda a decidir sobre.

Em resumo:

Seja $f$ uma função derivável sobre um conjunto S, de modo que a sua derivada $f'$ seja contínua e $f$ possua um ponto crítico $x = c$ em S, isto é, $f'(c) = 0$.

• Se $f"(c)<0$ então $x=c$ é um ponto de máximo para a função $f$.

• Se $f"(c)>0$ então $x=c$ é um ponto de mínimo para a função $f$.

Para a tarefa apresentada:

$f(x) = 5x^{3}-34x^{2} + 64x + 16$

$f'(x) = 15x^{2}-68x + 64=0 \rightarrow x =\frac{4}{3} \text{ ou } x = \frac{16}{5}$

Como ambos os pontos críticos se encontram no intervalo [0,4], eles são candidatos a pontos de mínimo. Para a segunda derivada:

$f''(x) = 30x-68$

Calculando os valores da função para os pontos críticos:

$f''(\frac{4}{3}) = 30(\frac{4}{3})-68 = -28$     (ponto de máximo)

$f''(\frac{16}{5}) = 30(\frac{16}{5})-68 = 28$    (ponto de mínimo)

Logo, x = 16/5 é um valor mínimo da função no intervalo dado.

Acontece, porém, que o valor mínimo dado pela segunda derivada pode ser apenas um mínimo local e não o global (absoluto) no intervalo. Para verificar, basta calcular o valor nos extremos:

$f(0) = 5\cdot0^{3}-34\cdot0^{2} + 64\cdot0 + 16 = 16$

$f(0) = 5\cdot4^{3}-34\cdot4^{2} + 64\cdot4 + 16 = 48$

Calculando o valor da função para x = 16/5:

$f(0) = 5\cdot(\frac{16}{5}) ^{3}-34\cdot(\frac{16}{5})^{2} + 64\cdot(\frac{16}{5}) + 16 = 36,48$

Logo, x = 0 é o valor de mínimo absoluto pra função nesse intervalo.

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