Question

Seja C o ponto de intersecção das retas de equações 2x + y + 1 = 0 e x - 2y - 7 = 0. Determine a equação da circunferência de centro C e que passa pelo ponto P = (3 ; -2)

Answer 1

Sejam as retas $r: 2x+y+1=0$ e $s: x-2y-7=0$. Temos que o ponto de interseção das retas r e s é C, isto é, $r \cap s=\{ C\}$. Para encontrar as coordenadas de C, basta resolver o sistema linear 

$2x+y+1=0 \ \text{(I)} \\ x-2y-7=0 \ \text{(II)}$

Utilize qualquer método que achar conveniente para resolver o sistema em questão. Uma das possibilidades é multiplicar a equação (I)  por 2 e somá-la à equação (II), eliminando a variável y no processo:

$2 \times (\text{I}) \\ \rightarrow 2(2x+y+1)=2(0) \\ \rightarrow 4x +2y+2 =0 \\ \\2 \times {(\text{I})} + (\text{II}) \\ (4x +2y+2) + (x-2y-7)=0+0 \\ \rightarrow 5x -5 = 0 \\ \rightarrow 5x = 5 \\ \rightarrow x = 5/5 = 1$

Retornando à equação (I) ou à equação (II) com o valor de x, podemos obter a coordenada y.

$(\text{I}) \\ 2x + y + 1 = 0 \\ \rightarrow 2(1) +y+1 = 0 \\\rightarrow y +3 = 0 \\ \rightarrow y = -3$

Sendo assim, as coordenadas de C são C(1, -3). Em seguida, memoramos que a equação reduzida de uma circunferência é dada por

$(x-x_c)^2+(y-y_c)^2 = r^2$

Onde $(x_c, y_c)$ é o centro da circunferência, e $r$ é o seu raio. Como o centro da circunferência é o ponto C, temos $(x_c, y_c) = (1, -3)$. Substituindo na equação anterior, vem

$(x-1)^2+(y-[-3])^2 = r^2 \rightarrow (x-1)^2 + (y+3)^2 = r^2$

Resta saber o valor do raio $r$. Para tanto, podemos utilizar o fato de que a circunferência passa pelo ponto $P(3, -2)$. Substituindo $x=3,y=-2$ na equação da circunferência, portanto, temos

$([3]-1)^2 + ([-2]+3)^2 = r^2 \\ \rightarrow (2)^2 + (1)^2 = r^2 \\ \rightarrow 5 = r^2 \\ \rightarrow r = \sqrt{5}$

Portanto, o raio da circunferência é igual a $\sqrt{5}$. Finalmente, temos a equação reduzida da circunferência com todas as informações pertinentes,

$(x-1)^2 + (y+3)^2 = ({\sqrt{5})^2$

$\rightarrow (x-1)^2 + (y+3)^2 = 5}$