Question

seja C o conjunto dos números complexos, isto é, se z € C. Então, z= x+yi, sendo x e y reais e i= √-1
b-) Determine z € C, tal que z^2= 9 - 40i

Answer 1

$z=x+yi,\;\;\;x,\,y \in \mathbb{R}\\ \\ \\ z^{2}=9-40i\\ \\ \left(x+yi\right)^{2}=9-40i\\ \\ x^{2}+2xyi+\left(yi \right )^{2}=9-40i\\ \\ x^{2}+2xyi+y^{2}i^{2}=9-40i\\ \\ x^{2}+2xyi+y^{2}\cdot \left(-1 \right )=9-40i\\ \\ x^{2}+2xyi-y^{2}=9-40i\\ \\ \left(x^{2}-y^{2} \right )+\left(2xy \right )i=9-40i$


Temos uma igualdade entre dois números complexos. Então as partes reais e as partes imaginárias dos dois lados da equação acima devem ser iguais entre si, ou seja

$\left\{ \begin{array}{l} x^{2}-y^{2}=9\\ 2xy=-40 \end{array} \right.$


Da segunda equação, percebemos que

$x$ e $y$ têm sinais opostos, pois o produto é negativo;

$x \neq 0$ e $y \neq 0$.


Ainda a partir da segunda equação, temos

$2xy=-40\\ \ xy=\dfrac{-40}{2}\\ \\ xy=-20\\ \\ \left(xy \right )^{2}=\left(-20 \right )^{2}\\ \\ x^{2}y^{2}=400\;\;\;\;\;\text{(i)}$


Multiplicando a primeira equação por $x^{2}$, temos

$x^{2}-y^{2}=9\\ \\ x^{2}\cdot \left(x^{2}-y^{2} \right )=x^{2}\cdot 9\\ \\ x^{4}-x^{2}y^{2}=9x^{2}\;\;\;\;\;\text{(ii)}$


Substituindo a expressão $\text{(i)}$ em $\text{(ii)}$, temos

$x^{4}-400=9x^{2}\\ \\ x^{4}-9x^{2}-400=0\\ \\ \left(x^{2} \right )^{2}-9x^{2}-400=0$


Fazendo a mudança de variável

$w=x^{2}$

onde $w>0$, pois é um quadrado de um número real diferente de zero

temos

$w^{2}-9w-400=0\\ \\ \\ \Delta=\left(-9 \right )^{2}-4\cdot \left(1 \right )\cdot \left(-400 \right )\\ \\ \Delta=81+1\,600\\ \\ \Delta=1\,681\\ \\ \Delta=41^{2}\\ \\ \\ w=\dfrac{-\left(-9 \right )\pm \sqrt{41^{2}}}{2 \cdot \left(1 \right )}\\ \\ w=\dfrac{9 \pm 41}{2}\\ \\ \begin{array}{rcl} w=\dfrac{9+41}{2}&\text{ ou }&w=\dfrac{9-41}{2}\\ \\ w=\dfrac{50}{2}&\text{ ou }&w=\dfrac{-32}{2}\\ \\ w=25&\text{ ou }&w=-16\;\;\;\text{ (n\~{a}o serve, pois }w>0\text{)}\\ \\ \end{array}\\ \\ w=25$


Substituindo de volta para a variável $x$, temos

$x^{2}=25\\ \\ x=\pm \sqrt{25}\\ \\ x=\pm 5\\ \\ \boxed{\begin{array}{rcl} x=5&\text{ ou }&x=-5 \end{array}}$


Substituindo os valores de $x$ ainda na primeira equação do sistema, temos

$x^{2}-y^{2}=9\\ \\ 25-y^{2}=9\\ \\ y^{2}=25-9\\ \\ y^{2}=16\\ \\ y=\mp \sqrt{16}\;\;\rightarrow \boxed{\text{os sinais de }y\text{ e }x\text{ devem ser opostos}}\\ \\ y=\mp 4\\ \\ \boxed{\begin{array}{rcl} y=-4&\text{ ou }&y=4 \end{array}}$


Logo, temos duas soluções para o sistema de equações:

$\left(x,\,y \right )=\left(5,\,-4 \right )\\ \\ \left(x,\,y \right )=\left(-5,\,4 \right )$


Logo, os números $z$ que satisfazem a equação

$z^{2}=9-40i$

são

$\boxed{z_{1}=5-4i,\;\;\;z_{2}=-5+4i}$