Question

Seja C a curva dada pela interseçao do cilindro parabolico x2 = 2y e da superfıcie 3z = xy. Encontre o comprimento de arco de C da origem ate o ponto (6,18,36).

Answer 1

Vamos tentar escrever a curva C em função de apenas uma variável. Para isso, podemos isolar y e z nas equações dadas:

$x^2 = 2y\Longrightarrow \boxed{y = \dfrac{1}{2}x^2}\\\\\\ 3z = xy \Longrightarrow z = \dfrac{1}{3}\cdot x\cdot \dfrac{1}{2}x^2\Longrightarrow \boxed{z = \dfrac{1}{6}x^3}$

Então, vamos criar um novo parâmetro t, tal que:

$\begin{cases}x=t\\\\y=\dfrac{1}{2}t^2\\\\z=\dfrac{1}{6}t^3\end{cases} \Longrightarrow \boxed{\sigma(t) = \left(t,\,\dfrac{1}{2}t^2,\,\dfrac{1}{6}t^3\right)}$

Onde $\sigma(t)$ é a equação parametrizada da curva C em t. 

O comprimento de uma curva de equação $\sigma(t)$, com $a\le t\le b$, é dada por:

$\displaystyle\boxed{L(C)=\int_{a}^{b}||\sigma'(t)||\,dt}$

Vamos definir os intervalos de integração. Deseja-se o comprimento da curva entre (0, 0, 0) e (6, 18, 36). Então, $0\le t\le6$. Desse modo, $a = 0$ e $b = 6$.

Além disso, podemos determinar $\sigma'(t)$:

$\sigma(t) = \left(t,\,\dfrac{1}{2}t^2,\,\dfrac{1}{6}t^3\right)\Longrightarrow \sigma'(t)=\left(1,\,t,\,\dfrac{1}{2}t^2\right)$

Usando que temos na fórmula do comprimento (L):

$\displaystyle L(C)=\int_{a}^{b}||\sigma'(t)||\,dt\\\\ L(C)=\int_{0}^{6}\left|\left|\left(1,\,t,\,\dfrac{1}{2}t^2\right)\right|\right|\,dt\\\\ L(C)=\int_{0}^{6}\sqrt{(1)^2+(t)^2+\left(\dfrac{1}{2}t^2\right)^2}\,dt\\\\ L(C)=\int_{0}^{6}\sqrt{1+t^2+\dfrac{1}{4}t^4}\,dt$

Repare que $1+t^2+\dfrac{1}{4}t^4 = \left(1+\dfrac{1}{2}t^2\right)^2$. Substituindo acima:

$\displaystyle L(C)=\int_{0}^{6}\sqrt{\left(1+\dfrac{1}{2}t^2\right)^2}\,dt\\\\ L(C)=\int_{0}^{6}\left|1+\dfrac{1}{2}t^2\right|\,dt$

Como $t^2\ \textgreater \ 0~\forall~ t\in\mathbb{R}$, temos que $\left|1+\dfrac{1}{2}t^2\right| = 1+\dfrac{1}{2}t^2$. Então:

$\displaystyle L(C)=\int_{0}^{6}\left(1+\dfrac{1}{2}t^2\right)\,dt\\\\ L(C)=\left[t+\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{t^{2+1}}{2+1}\right]_{0}^{6}\\\\ L(C)=\left[t+\dfrac{t^{3}}{6}\right]_{0}^{6}\\\\ L(C)=\left(6+\dfrac{6^{3}}{6}\right)-\left(0+\dfrac{0^{3}}{6}\right)\\\\ L(C)=\left(6+6^2\right)-\left(0+\dfrac{0}{6}\right)\\\\ L(C)=\left(6+36\right)-\left(0+0\right)\\\\ \boxed{\boxed{L(C)=42~\text{u.c.}}}$

Portanto, o comprimento do arco de C da origem ao ponto (6, 18, 36) é igual a 42 u.c..