Question

Seja B = (i,j,k) base ortonormal positiva em relação à qual u = xi + yj + zk. Obtenha um vetor u tal que: |u| = √14; o ângulo entre u e k é agudo; e u ^ (i - j + k)=0.

Obs.: o símbolo ^ é o mesmo que x (produto vetorial)

Answer 1

Vamos usar inicialmente o último dado do enunciado:

$\vec u\times (\vec i-\vec j+\vec k)=\vec0\\\\ (x,y,z)\times(1,-1,1)=\vec0\\\\ \left|\begin{matrix}\vec i&&\vec j&&\vec k\\x&&y&&z\\1&&-1&&1\end{matrix}\right|=\vec0\\\\ (y\cdot1-z\cdot(-1))\vec i+(z\cdot1-x\cdot1)\vec j+(x\cdot(-1)-y\cdot1)\vec k=\vec0\\\\ (y+z)\vec i+(z-x)\vec j-(x+y)\vec k=\vec0\\\\ (y+z,z-x,-(x+y))=(0,0,0)\\\\ \begin{cases}y+z=0\iff z=-y\\z-x=0\iff z=x\\-(x+y)=0\iff x=-y\end{cases}$

Seja t tal que x=t. Dessa forma, podemos dizer que u é da forma $\vec u=(t,-t,t)$.

Agora, vamos usar o dado sobre a norma de u:

$||\vec u||=\sqrt{14}\\\\ \sqrt{t^2+(-t)^2+t^2}=\sqrt{14}\\\\ \sqrt{3t^2}=\sqrt{14}\\\\ 3t^2=14\\\\ t^2=\dfrac{14}{3}\\\\ t=\pm\sqrt{\dfrac{14}{3}}\\\\ t=\pm\dfrac{\sqrt{42}}{3}$

Com isso, vemos que há apenas duas possibilidades para t.

Devemos saber que, se θ é o ângulo entre dois vetores (u e v), então: $\cos\theta=\dfrac{\vec u\cdot \vec v}{||\vec u||\cdot||\vec v||}$ . Como o ângulo entre u e k é agudo, temos que o cosseno do ângulo entre eles é positivo. Usando isso:

$\cos \theta>0\\\\ \dfrac{\vec u\cdot\vec k}{||\vec u||\cdot||\vec k||}>0\\\\ \dfrac{(t,-t,t)\cdot(0,0,1)}{\sqrt{14}\cdot1}>0\\\\ \dfrac{t\cdot0+(-t)\cdot0+t\cdot1}{\sqrt{14}}>0\\\\ \dfrac{t}{\sqrt{14}}>0\\\\ t>0$

Assim, descobrimos que t é positivo. Logo, temos que $t=\dfrac{\sqrt{42}}{3}$.

Portanto, o vetor u é:

$\boxed{\vec u=\left(\dfrac{\sqrt{42}}{3},-\dfrac{\sqrt{42}}{3},\dfrac{\sqrt{42}}{3}\right)}$