Question

seja as retas r e s concorrentes represtada pela equação (r) 2x +y-4=0 e (s) 3x-y-1=0 determine a medida do ângulo entre as retas r e s

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Edd, que a resolução é simples.

Antes note que o ângulo entre duas retas é dado pela tangente do ângulo α e cuja fórmula é esta:

tg(α) = |(ms - mr)/(a+ms*mr)|     . (I)

Na expressão (I) acima temos que tg(α) é igual ao coeficiente angular da reta "s" menos o coeficiente angular da reta "s", dividido por "1" mais o produto entre os dois coeficientes angulares e tudo isso dentro do módulo.

Agora vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Vamos encontrar o coeficiente angular da reta "r", que é esta:

Reta "r": 2x + y - 4 = 0 ----- para encontrar o coeficiente angular, deveremos isolar "y". O coeficiente angular será, pois, o coeficiente de "x" após havermos isolado "y". Assim, teremos, ao isolarmos "y" na reta "r", que é: 2x+y-4 = 0:

y = - 2x + 4 <--- Assim, teremos que o coeficiente angular da reta "r" é igual a "-2", pois é o coeficiente de "x' após havermos isolado "y". Logo, teremos;

mr = - 2        . (II)

ii) Vamos para a reta "s" e vamos fazer a mesma coisa. A reta "s" é esta:

3x - y - 1 = 0  -------- isolando "y", teremos:
- y = - 3x + 1 --- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos;
y = 3x - 1 <--- Então o coeficiente da reta "s" é "3", que é o coeficiente de "x" após havermos isolado "y". Assim, teremos que:

ms = 3       . (III)

iii) Agora vamos para a fórmula que está lá na expressão (I), e que é esta:

tg(α) = |(ms - mr)/(1+ms*mr)] ---- substituindo-se "ms" por "3" [conforme vimos na expressão (III)] e substituindo-se "mr" por "-2" [conforme vimos na expressão (II)], teremos:

tg(α) = |(3 - (-2))/(1+3*(-2)|
tg(α) = |(3+2)/(1 - 6)|
tg(α) = |(5)/(-5)| --- ou apenas:
tg(α) = |5/-5|
tg(α) = |-1| ----- como |-1| = 1, teremos:
tg(α) = 1 <---- E, como "1" é igual à tangente de 45º, então teremos que o ângulo α medirá:

α = 45º <--- Esta é a resposta. Este é o ângulo formado pelas retas "r" e "s" da sua questão.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.