Question

Seja (an) uma sequência de números naturais em que
a1 = 1. A partir dessa sequência, pode-se definir outra
sequência (Sn), dada pela soma dos primeiros n termos de (an), ou seja,
Sn = a1 + a2 + .... + an
Sabendo-se que (Sn) é uma progressão geométrica de razão q = 3, verifica-se que a5, o quinto termo da sequência original, é
(A) 54
(B) 81
(C) 162
(D) 243
(E) 486
Resposta: Letra A, estou buscando pela resolução

Answer 1

Resposta:

54. Alternativa (A)

Explicação passo a passo:

Sn é a sequência de números que corresponde à soma dos n primeiros termos da sequência An.

Dessa forma o primeiro termo da sequencia Sn (vou chamar de s₁, diferente do enunciado), é igual ao primeiro termo de An.

Então s₁ = a₁ = 1

Como Sn é uma progressão geométrica, então já sabemos todos os termo de Sn. Basta multiplicar cada termo pela razão, q, para encontrar o próximo:

Sn = {1, 3, 9, 27, 81 ...}

Agora que descobrimos a sequência Sn, vamos descobrir a sequencia An.

Lembre a relação entre Sn e An:

s₁ = a₁
s₂ = a₁ + a₂
s₃ = a₁ + a₂ + a₃

(...)

sₙ = a₁ + a₂ + a₃ + ... + aₙ

Perceba que podemos reescrever a sequencia Sn de outra forma:

s₁ = a₁
s₂ = a₁ + a₂  (mas a₁ = s₁)
s₃ = a₁ + a₂ + a₃ (mas a₁ + a₂ = s₂)

(...)

sₙ = a₁ + a₂ + a₃ + ... + aₙ  (mas a₁ + a₂ + a₃ + ... + aₙ₋₁ = sₙ₋₁)

Então:

s₁ = a₁
s₂ = s₁ + a₂  (mas a₁ = s₁)
s₃ = s₂ + a₃ (mas a₁ + a₂ = s₂)

sₙ = sₙ₋₁ + ... + aₙ

Portanto, agora sabemos calcular qualquer termo da sequencia An, em especial, sabemos calcular a₅!

s₅ = s₄ + a₅
a₅ = s₅ - s₄
a₅ = 81 - 27
a₅ = 54