Question

Seja An a área dum quadrado de lados 2^n (2 elevado a n), com n€N, n>=1. Mostre que o resto da divisão de An por 3 é unidade, para qualquer que seja n>=1

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Se os lados de um quadrado medem $2^n$, sua área vale $(2^n)^2=2^{2n}$

Note que $2\equiv(-1)\pmod{3}$, logo, $2^{2n}\equiv(-1)^{2n}\equiv1\pmod{3}$, como queríamos

Usando indução:

A base é $n=1$. Temos $2^2=4$ e $4\equiv1\pmod{3}$

Suponha que a hipótese vale para um certo $n=k$. Vamos provar que também vale para $k+1$

Temos que $2^{2k}\equiv1\pmod{3}$ e queremos mostrar que $2^{2(k+1)}=2^{2k+2}\equiv1\pmod{3}$

Veja que $2^{2k+2}=2^{2k}\cdot4$ e $2^{2k}\equiv1\pmod{3}$ e $4\equiv1\pmod{3}$, logo, $2^{2k+2}\equiv1\cdot1\equiv1\pmod{3}$