Question

Seja abcd um paralelogramo de diagonais ac e bd e seja m um ponto de interseçao dessas diagonais.Usando o reciproco teorema dos angulos alternos e internos e o caso ALA de congruencia de triangulos mostre que os triangulos amb e cmd sao congruentes em seguida conclua que m divide cada uma das diagonais ac e bd ao meio ou seja am bm cm e dm

Answer 1

Manucarmo4270,

Por gentileza, acompanhe o raciocínio na figura do anexo:

O paralelogramo ABCD tem, por definição, os lados:

AB = CD
AD = BC

As diagonais são

AC e BD, que se encontram no ponto M.

Devemos provar que:

1. Δ AMB = Δ CMD

E, como consequência, que:

2. 
AM = CM
BM = DM

Demonstração:

Nos triângulos ABM e CMD, temos:

AB = CD, por definição de paralelogramo
∡ B = ∡ D, pois são alternos-internos (AB // CD, cortados pela secante BD)
∡ A = ∡ C, pois também são alternos internos

Então, os triângulos ABM e CDM são congruentes, por ALA

2. Como os triângulos ABM e CDM são congruentes, os lados correspondentes são também congruentes. Então:

AM = CM
BM = DM

Assim, o ponto M é ponto médio de AC e ponto médio de BD e, como consequência, M divide as diagonais AC e BD ao meio.