Question

Seja (,,) abc uma progressão geométrica de números reais com 0 a ≠ . Definindo s abc =++, o menor valor possível para / s a é igual a a) 1/2. b) 2/3. c) 3/4. d) 4/5.

#UNICAMP

Answer 1

Alternativa (c) 3/4

Esta é uma questão sobre Progressão Geométrica, que é uma sequência de valores em que o segundo termo é igual ao primeiro multiplicado por uma razão. Ou seja, sempre em uma progressão geométrica, existe um valor "q" chamado de razão que multiplica os termos anteriores e resultam nos termos seguintes. Uma progressão geométrica é escrita de forma genérica como:

$an = a1 * q^{n-1}$

Sabemos então que a sequência da progressão geométrica apresentada no enunciado, pode ser escrita em função do primeiro termo apenas:

$s = a+b+c = a+aq+aq^2$

dividindo tudo por "a", temos:

$\frac{s}{a} = \frac{a+aq+aq^2}{a} \\\\\frac{s}{a} = 1 + q + q^2$

derivando a equação e igualar a zero, encontraremos o menor valor para "q":

$0 = 1 + 2q\\\\q = -\frac{1}{2}$

Aplicando esse valor de "q" em s/a, temos:

$\frac{s}{a} = 1 - \frac{1}{2} + (-\frac{1}{2} )^2\\ \\\frac{s}{a} = 1 - \frac{1}{2} +\frac{1}{4}\\\\\frac{s}{a} = \frac{3}{4}$