Question

Seja ABC um triângulo equilátero.

a) Mostre mediante o cálculo de áreas, que as três alturas de ABC tem o mesmo comprimento.
b) Prove que a soma das distâncias de um ponto qualquer no interior de ABC a seus lados, independe da posição do ponto, e é igual ao comprimento das alturas de ABC.

Answer 1

A área de um triângulo é dada pelo produto entre a base e a altura relativa a essa base dividido por 2, dessa forma, temos que em um triângulo equilátero de lado L e altura h, esta altura divide o mesmo em dois triângulos retângulos, onde os catetos são h e L/2, e a hipotenusa igual a L, logo:

L² = (L/2)² + h²

h² = L² - L²/4

h² = 3.L²/4

h = L.√3/2

Sendo S a área do triângulo, temos que:

S = L.h/2

Como o triângulo é o mesmo e todas as bases medem L, sabemos que h deve ser o mesmo para que S seja igual em todos os casos.

b) Seja P um ponto qualquer do triângulo, podemos dividir este triângulo em três triângulos menores T1, T2, T3, cada um com suas respectivas alturas h1, h2 e h3 e suas bases serão sempre igual a L. Sabemos que a soma das áreas destes triângulos é igual a área do triângulo ABC, logo:

L.h/2 = L.h1/2 + L.h2/2 + L.h3/2

(L/2).h = L.(h1 + h2 + h3)/2

h = h1 + h2 + h3