Question

Seja ABC um triângulo de lados AB¯=8, AC¯=10 e BC¯=12, conforme a figura abaixo. Sejam P, Q e R os pontos em que os lados BC¯, AC¯ e AB¯ de ABC tangenciam a circunferência inscrita a ABC, respectivamente. Calcule os comprimentos dos segmentos de reta AR¯, BP¯ e CQ¯.

Answer 1

Olá. Para resolver essa questão devemos aplicar as noções de congruência geradas pela circunferência inscrita. A circunferência inscrita faz com que os segmentos que partem do mesmo vértice até a tangente sejam congruentes:

AR = AQ
BR = BP
CP = CQ

Podemos escrever os segmentos em função dos lados do triângulo, formando um sistema:

AR+BR = 8 = AB
AQ+CQ = 10 = AC
BP+CP = 12 = BC

Assim podemos apenas somar todo o sistema (Perímetro) e substituir os segmentos pelos valores conhecidos.

AR+BR+AQ+CQ+BP+CP = 30

2 AR + 2 BR + 2 CP = 30

Desenvolvendo:

2 (AR+BR+CP) = 30

8 + CP = 15

CP = CQ = 7

BP = BR = 12 - CP
BP = BR =12-7

BP = BR = 5

AR = AQ = 8 - BR AR = AQ = 8 - 5

AR = AQ = 3 

Logo o comprimento dos segmentos AR, BP e CQ são: 3, 5 e 7 respectivamente.

Bons Estudos!!!