Question

Seja A uma matriz qualquer. Mostre que A * At (transposta de A) é uma matriz simétrica.

Answer 1

Resposta:

Dada uma matriz qualquer (quadrada), para que ela seja simétrica temos que ter $A = A^t$ ou ainda, $a_{ij} = a_{ji}$ para todo i,j.

Vou fazer para um exemplo usando matriz quadrada de ordem 2. Temos:

$A = \left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right]$            $A^t = \left[\begin{array}{cc}a&c\\b&d\end{array}\right]$

OBS: Para encontrar a transposta, basta transformar a primeira linha da matriz A na primeira coluna da matriz $A^t$ e continuar fazendo isso para todas as linhas até que termine.

Multiplicando as duas matrizes temos:

$A.A^t = \left[\begin{array}{cc}a.a+b.b&a.c+b.d\\a.c+b.d&c.c+d.d\end{array}\right]$

Vamos chamar essa matriz de B.

$B = \left[\begin{array}{cc}a.a+b.b&a.c+b.d\\a.c+b.d&c.c+d.d\end{array}\right]$

E assim temos que:

$B^t = \left[\begin{array}{cc}a.a+b.b&a.c+b.d\\a.c+b.d&c.c+d.d\end{array}\right]$

Ou seja, a mesma matriz, logo ela é simétrica. Se você fizer a mesma conta para matrizes 3x3, 4x4, você encontrará o mesmo "resultado". Para olhar se uma matriz é simétrica de forma mais fácil, trace a diagonal principal dela, se os elementos acima da diagonal forem exatamente iguais aos de baixo da diagonal, então ela é simétrica.

OUTRA FORMA DE FAZER:

Sabemos que $(A.B^t) = B^t.A^t$ e que $(A^t)^t = A$. Então:

$(A.A^t)^t = (A^t)^t . A^t = A.A^t$

Ou seja, a transposta da multiplicação de A por sua transposta é ela mesma.