Question

seja A uma matriz quadrada de ordem n, entao um vetor nao nulo v pertencente ao Rn é denominado autovetor de A se Av for multiplo escalar de v, isto é, Av=ฯv, em que ฯ é um numero real (escalar). o escalar ฯ é denominado autovalor de A, e denominamos v autovetor associado a ฯ nesse contexto, considerando a matriz A, determine os autovalores relacionados a referida matriz, sendo: A=[4 5 2 1]

Answer 1

Para calcular os autovalores de uma matriz, temos que calcular, primeiramente, o polinômio característico:

p(x) = det(xI - A)

sendo I a matriz identidade.

Como $A=\left[\begin{array}{ccc}4&5\\2&1\end{array}\right]$, então, temos que:

$p(x)=x.\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right] - \left[\begin{array}{ccc}4&5\\2&1\end{array}\right]$

$p(x)=\left[\begin{array}{ccc}x&0\\0&x\end{array}\right] - \left[\begin{array}{ccc}4&5\\2&1\end{array}\right]$

$p(x)=\left[\begin{array}{ccc}x-4&-5\\-2&x-1\end{array}\right]$

Agora precisamos calcular o determinante da matriz acima:

p(x) = (x - 4)(x - 1) - 10

p(x) = x² - 5x - 6

Para calcular os valores de x vamos utilizar a fórmula de Bháskara:

Δ = (-5)² - 4.1.(-6)

Δ = 25 + 24

Δ = 49

$x=\frac{5+-\sqrt{49}}{2}$

$x=\frac{5+-7}{2}$

$x'=\frac{5+7}{2} = 6$

$x''=\frac{5-7}{2}=-1$

Sendo assim, temos que:

p(x) = (x + 1)(x - 6).

Portanto, os autovalores da matriz A são x₁ = -1 e x₂ = 6.