Question

Seja a um número real não-nulo , calcule o produto a^-101 . a^-98 ... a^103

Answer 1

Queremos calcular o seguinte produto

$a^{-101} \cdot a^{-98} \cdot ... \cdot a^{103}$

O resultado será uma potência de base $a$, cujo exponente é o resultado da soma

$-101+\left(-98 \right )+...+103$


Vemos que os expoentes de $a$ formam a seguinte sequência:

$\left(-101,-98,...,103 \right )$

que, ao que parece, é uma progressão aritmética de razão

$r=-98-\left(-101 \right )=3$

cujo primeiro termo é $b_{1}=-98$;

e o último termo é $b_{n}=103$.


$n$ é o número de termos desta sequência. Se encontrarmos um $n$ natural utilizando a fórmula do termo geral $b_{n}$ de uma progressão aritmática, então fica confirmado que se trata mesmo de uma P.A.:

$b_{n}=b_{1}+\left(n-1 \right )\cdot r\\ \\ 103=-101+\left(n-1 \right )\cdot 3\\ \\ 3\left(n-1 \right )=103+101\\ \\ 3\left(n-1 \right )=204\\ \\ n-1=\dfrac{204}{3}\\ \\ n-1=68\\ \\ n=68+1\\ \\ n=69 \text{ termos}$

A sequência é uma P.A. de $69$ termos.


O expoente do resultado é a soma dos termos desta P.A.

$S_{n}=\dfrac{\left(b_{1}+b_{n} \right ) \cdot n}{2}\\ \\ S_{69}=\dfrac{\left(-101+103 \right ) \cdot 69}{2}\\ \\ S_{69}=\dfrac{2 \cdot 69}{2}\\ \\ S_{69}=69$


Logo, chegamos ao resultado

$\boxed{a^{-101} \cdot a^{-98} \cdot ... \cdot a^{103}=a^{69}}$