Question

Seja a série ∑∞ com n=1 ln(n/n+1) = ∑∞ com n=1 [ln(n) - ln(n+1)], assinale a alternativa que expressa o Termo Geral Sn da sequência de somas parciais dessa série:

a) S_n = ln(n)

b) S_n = - ln(n)

c) S_n = ln(n+1)

d) S_n = ln(n) - ln(n+1)

e) S_n = - ln(n+1)

Answer 1

e) S_n = - ln(n+1)

Para desenvolver o cálculo de ∑ln[n/(n+1)], desde n = 1 até ∞, temos que:

ln[1/(1+1)] + ln[2/(2+1)]+ln[3/(3+1)]+ln[4/(4+1)] + ...+ln[n/(n+1)]

ln[1/(2)] + ln[2/(3)]+ln[3/(4)]+ln[4/(5)] + ...+ln[n/(n+1)]

ln1 - ln2 + ln2 - ln3 + ln3 -ln4 + ln4 - ln5 +...+lnn - ln(n+1)  

Então cancelamos os termos que apresentam o seu oposto e apenas restará:

ln1 -ln(n+1) que é igual a 0 - ln(n+1)

Essa diferença corresponde a:  

-ln(n+1)

Quando podemos cancelar os termos, chamamos de série telescópica.

Bons estudos!