Question

Seja a região R do plano limitada pela curva y = -x^2 + 1 e o eixo OX. Determinar o volume do sólido obtido com a rotação de R em torno do eixo de OX

Answer 1

Calcular o volume do sólido obtido pela revolução da curva

     y = 1 − x²             − 1 ≤ x ≤ 1

em torno do eixo Ox.


A curva intersecciona o eixo Ox nos pontos  x = − 1  e  x = 1  (fazendo  y = 0).  Usando o método das seções transversais, esses serão os limites de integração.


Área da seção transversal:

     A(x) = π . y²

     A(x) = π . (1 − x²)²

     A(x) = π . (1 − 2x² + x⁴)


O volume do sólido é dado por

     $\displaystyle V=\int_{-1}^1 A(x)\,dx\\\\\\ =\int_{-1}^1 \pi \cdot (1-2x^2+x^4)\,dx\\\\\\ =\pi \cdot \bigg(x-2\cdot \frac{x^{2+1}}{2+1}+\frac{x^{4+1}}{4+1}\bigg)\bigg|_{-1}^1\\\\\\ =\pi \cdot \bigg(x-2\cdot \frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}\bigg)\bigg|_{-1}^1\\\\\\ =\pi \cdot \bigg(1-2\cdot \frac{1^3}{3}+\frac{1^5}{5}\bigg)-\pi \cdot \bigg((-1)-2\cdot \frac{(-1)^3}{3}+\frac{(-1)^5}{5}\bigg)$

     $=\pi \cdot \bigg(1-2\cdot \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}\bigg)-\pi \cdot \bigg(-1-2\cdot \dfrac{(-1)}{3}+\dfrac{(-1)}{5}\bigg)\\\\\\ =\pi \cdot \bigg(1-\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{5}\bigg)-\pi \cdot \bigg(-1+\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{5}\bigg)\\\\\\ =\pi \cdot \bigg(1-\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{5}\bigg)+\pi \cdot \bigg(1-\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{5}\bigg)$

     $=2\pi \cdot \bigg(1-\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{5}\bigg)\\\\\\ =2\pi \cdot \bigg(\dfrac{15}{15}-\dfrac{10}{15}+\dfrac{3}{15}\bigg)\\\\\\ =2\pi \cdot \bigg(\dfrac{15-10+3}{15}\bigg)\\\\\\ =2\pi \cdot \dfrac{8}{15}$

     $=\dfrac{16\pi}{15}~\mathrm{u.v.}$    <————     esta é a resposta.


Bons estudos! :-)