Question

Seja a matriz A=$\left[\begin{array}{ccc} 3^{x}&9^{y}\\(\frac{-1}{9})^{x}&(\frac{1}{3})^{y}\\\end{array}\right]$, x, y∈R, x≠0, y>0. Se detA=0, então é correto afirmar que $\frac{y}{x}$ é igual a?

Answer 1

Primeiramente, calculando o determinante de A:

$\det A=3^x\cdot\left(\dfrac{1}{3}\right)^y-9^y\cdot\left(-\dfrac{1}{9}\right)^x=3^x\cdot\dfrac{1}{3^y}+(-1)^x9^y\cdot\dfrac{1}{9^x}\iff\\\\\det A=\dfrac{3^x}{3^y}+(-1)^x\dfrac{9^y}{9^x}=\dfrac{3^x}{3^y}+(-1)^x\left(\dfrac{3^y}{3^x}\right)^2$

Seja $k=\dfrac{3^y}{3^x}$. Substituindo na equação acima:

$\det A=\dfrac{1}{k}+(-1)^xk^2\Longrightarrow 0=\dfrac{1}{k}+(-1)^xk^2\iff (-1)^xk^3+1=0\iff (-1)^xk^3=-1\iff\\\\\Longrightarrow (-1)^xk=-1$

Portanto:

$(-1)^xk=-1\Longrightarrow (-1)^x\cdot\dfrac{3^y}{3^x}=-1\iff 3^y=-(-1)^x3^x$

O número $(-1)^x$ pode ser -1 ou 1. Supondo que seja $(-1)^x=1:$

$3^y=-(-1)^x3^x\to 3^y=-1\cdot3^x\Longrightarrow 3^y=-3^x$

Como qualquer potência de 3 é um número positivo, a expressão acima é um absurdo, pois iguala um número negativo ($-3^x$) a um positivo ($3^y$). Logo, $(-1)^x=-1$. Substituindo:

$3^y=-(-1)^x3^x\to 3^y=-(-1)\cdot3^x\Longrightarrow 3^y=3^x\Longrightarrow\\\\ \sqrt[x]{3^y}=\sqrt[x]{3^x}\Longrightarrow 3^{\frac{y}{x}}=3=3^1\Longrightarrow \boxed{\dfrac{y}{x}=1}$