Question

Seja a matriz A = (aij) 2x3 em que aij = (i+j)². Qual a transporta da matriz A?

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{A^t=\begin{bmatrix}4&9\\9&16\\16&25\\\end{bmatrix}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para encontrarmos a transposta da matriz A, devemos relembrar algumas propriedades.

A transposta de uma matriz de ordem m x n é dada pela troca entre as linhas e colunas. Ou seja, a transposta terá ordem n x m, de forma que todos os elementos que pertencem às linhas pertencerão às colunas.

Observe o exemplo da matriz $B=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\\end{bmatrix}$. Ela tem ordem 2 x 3, logo sua transposta terá ordem 3 x 2. Ao aplicarmos a propriedade comentada acima, teremos:

$B^t=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{21}\\a_{12}&a_{22}\\a_{13}&a_{23}\\\end{bmatrix}$

Devemos prestar atenção na lei de formação da matriz. Sabemos que a matriz é composta por linhas e colunas, as quais damos os nomes de i e j, respectivamente.

Nos foi dito que $a_{ij}=(i+j)^2$. Logo, podemos encontrar os valores da matriz A.

Na primeira linha, temos os elementos $a_{11},~a_{12}$ e $a_{13}$. Calculando estes valores, teremos:

$\begin{cases}a_{11}=(1+1)^2\\a_{12}=(1+2)^2\\a_{13}=(1+3)^2\\\end{cases}$

Some os valores dentro dos parênteses

$\begin{cases}a_{11}=2^2\\a_{12}=3^2\\a_{13}=4^2\\\end{cases}$

Calcule as potências

$\begin{cases}a_{11}=4\\a_{12}=9\\a_{13}=16\\\end{cases}$

Faça o mesmo com os elementos da segunda linha, $a_{21},~a_{22}$ e $a_{23}$

$\begin{cases}a_{21}=(2+1)^2\\a_{22}=(2+2)^2\\a_{23}=(2+3)^2\\\end{cases}$

Some os valores dentro dos parênteses

$\begin{cases}a_{21}=3^2\\a_{22}=4^2\\a_{23}=5^2\\\end{cases}$

Calcule as potências

$\begin{cases}a_{21}=9\\a_{22}=16\\a_{23}=25\\\end{cases}$

Substitua os elementos na matriz A

$A=\begin{bmatrix}4&9&16\\9&16&25\\\end{bmatrix}$

Por fim, utilize a definição para encontrarmos a matriz transposta, $A^t$

$A^t=\begin{bmatrix}4&9\\9&16\\16&25\\\end{bmatrix}$

Esta é a matriz transposta que procurávamos.