Question

Seja a função g(x)=2x+3 e f(g(x))=2x+5/x+1 definida nos Reais. Determine f(x).

Answer 1

     Para resolver essa questão, basta lembrar da seguinte identidade:

$f(f^{-1}(x))=x$
  
     Ela afirma que se aplicarmos a inversa da função na função original, teremos uma função afim.
     Invertendo a função g(x), temos:

$g(x)=2x+3 \\ x=2g^{-1}(x)+3 \\ g^{-1}(x)= \frac{x-3}{2}$
 
     Inserindo na função composta, vem que:

$f(g(x))= \frac{2x+5}{x+1} \\ f(g(g^{-1}(x)))= \frac{2 (\frac{x-3}{2})+5 }{(\frac{x-3}{2})+1} \\ f(x)= \frac{2(x+2)}{x-1} \\ \boxed {f(x)= \frac{2x+4}{x-1} }$

Obs: Uma dica para evitar ambiguidade é usar o perentesis quando usar divisão. Com o exemplo abaixo ficará mais claro:

I) (2+x)/(x-1)
$\frac{2+x}{x-1}$

II)2+x/x+1
$2+ \frac{x}{x}+1$