Question

Seja a função f(x) = x³ - 4x²
a) Determinar os pontos críticos
b) Determinar o ponto de inflexão
c) Calcular os pontos de máximo, de mínimo e de inflexão
d) Esboçar o gráfico.

Answer 1

Temos a seguinte função:

$f(x) = x {}^{3} - 4x {}^{2}$

A partir dessa função a questão nos faz algumas perguntas, são elas:

• a) Determinar os pontos críticos:

Para encontrar os pontos críticos da função devemos encontrar os pontos que anulam a derivada primeira. Derivando a função:

$f'(x) = 3x {}^{2} - 8x {}^{}$

Igualando essa expressão a "0":

$3x {}^{2} - 8x \longrightarrow x_{1} =0 \: \: e \: \: x_{2} = \frac{8}{3}$

Esses são os tais pontos críticos.

• b) Determinar o ponto de inflexão

Para encontrar o ponto de inflexão dessa função será necessário usar a derivada segunda dessa função, pois através dela iremos observar onde há a troca de concavidade, ou seja, f"(x) > 0 e f"(x) < 0. Derivando duas vezes a função:

$f''(x) = 6x - 8$

Colocando essa expressão > e < que 0:

$f''(x) > 0 \longrightarrow 6x - 8 > 0 \longrightarrow x > \frac{4}{3} \\ f''(x) < 0 \longrightarrow6x - 8 < 0 \longrightarrow x < \frac{4}{3}$

Onde há a mudança de concavidade é no ponto em que x = 4/3, ou seja, esse é o pinto de inflexão.

• c) Calcular os pontos de máximo, de mínimo e de inflexão:

O ponto de inflexão achamos anteriormente, já o de mínimo e de máximo será dado pela substituição dos pontos críticos na derivada segunda, dependendo do sinal do resultado o ponto será um mínimo ou máximo:

$f''(x) = 6x - 8 \\ \\ \begin{cases} para \: x = 0 \\ f''(0) = 6.0 - 8 \\ f''(0) = - 8\end{cases} \begin{cases} para \: x = \frac{8}{3} \\f''( \frac{8}{3} ) = 6. \frac{8}{3} - 8 \\ f''( \frac{8}{3} ) =8 \end{cases} \\ \\ f''(x) > 0 \to minimo \\ f''(x) < 0 \to maximo$

Portanto temos que x = 0 → máximo local e x = 8/3 é um mínimo local.

• d) Esboçar o gráfico.

Está anexado na resposta.

Espero ter ajudado