Question

Seja a função f(x) = x2 - 6x + 9. Sejam duas retas tangentes ao gráfico desta função. Uma das retas é tangente ao ponto P(4,1). A outra tangente intercepta a primeira reta tangente no ponto de ordenada igual a -1 O ponto de tangência entre a segunda reta e o gráfico de f(x) tem coordenadas (a , b), com a e b reais. Determine o valor de a + b. (Ref.: 202011120344)

Answer 1

$\text{f(x)}=\text x^2-6\text x+9$

Reta tangente à f(x) será do tipo :

$\text y = \text{m.x+n}$

onde :

$\displaystyle \text m=\frac{\text d}{\text {dx}}[\text f (\text x)]$

Derivando a f(x) :

$\text m = [\text x^2-6\text x+9]' \to \text m = 2\text x-6 \\\\ \underline{\text{substituindo o ponto P(4,1)}}: \\\\ \text m = 2.4 -6\\\\ \boxed{\text m = 2}$

Substituindo na equação da reta tangente :

$\text y = 2\text x+\text n\\\\ \underline{\text{substituindo o ponto P(4,1)}:} \\\\ 1=2.4+\text n \\\\ \boxed{\text n = -7} \\\\ \underline{\text{Portanto a eq da reta tangente {\'e}}}: \\\\ \text y = 2\text x-7$

A questão diz que a outra reta tangente intercepta a reta tangente no ponto de ordenada igual a -1, ou seja :

$-1 =2\text x-7 \\\\ \text x = 3 \\\\ \underline{\text{Ponto de interse{\c c}{\~a}o {\'e} }} :\\\\ (3,-1)$

O ponto de tangencia entre a segunda reta e o gráfico da f(x) tem coordenada (a,b), determine a + b.

As retas tangentes ao gráfica da f(x) são simétricas em relação ao eixo das ordenadas, então partindo do ponto (4,1) a segunda reta será tangente num ponto (x,1).

Para encontrar o valor de x, basta que façamos y = 1 na f(x), ou seja :

$1 = \text x^2-6\text x+9 \\\\ (\text x-3)^2=1 \\\\ \text x-3=\pm1 \\\\ \text x=3+1 \to \text x = 4 \to \text{(J{\'a} {\'e} ponto da primeira reta tangente)}\\\\ \text x = 3-1 \to \text x=2 \to \text{(CONV{\'E}M)}$

Portanto a segunda reta tem coordenada de tangencia à f(x) no ponto (2,1), logo :

$\text a = 2 \ ; \ \text b = 1 \\\\ \huge\boxed{\ \text{a+b}=3\ }\checkmark$

Answer 2

Resposta:

3

Explicação passo a passo: