Question

Seja a função f(x)=(√x-3)/(x-9) e seu limite com x→9 é igual à 1/6. Qual o valor do lim┬(x→9)⁡〖(f(x))^3 〗?

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Answer 1

Por meio dos cálculos realizados, chegamos a conclusão de que $\boxed{\bf \lim_{x\to9}[f(x)]^3=\frac{1}{216}}$.

Explicação:

Temos a seguinte função:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bf f(x) = \frac{ \sqrt{x } - 3}{x - 9}$

O objetivo é determinarmos o cubo do limite desta função.

• Multiplicação de limites:

Como sabemos, os limites assim como as outras ferramentas matemáticas possuem propriedades.

• Uma delas é conhecida como o limite da multiplicação, podendo ela ser expandida como multiplicação do limites.

Matematicamente:

$\boxed{ \bf\lim_{x\to a}[f(x) \cdot g(x)] = \lim_{x\to a}f(x) \cdot\lim_{x\to a}g(x)}$

Ou seja, se temos:

$\lim_{x\to 9}[(f(x)) ^{3} ] = \lim_{x\to 9} [f(x) \cdot f(x) \cdot f(x)] \\ \\ \lim_{x\to 9}f(x) \cdot\lim_{x\to 9}f(x) \cdot \lim_{x\to 9}f(x)$

Substituindo a função na expressão acima:

$\lim_{x\to 9} \frac{ \sqrt{x } - 3 }{x - 9} \cdot\lim_{x\to 9} \frac{ \sqrt{x} - 3 }{ x - 9} \cdot \lim_{x\to 9} \frac{ \sqrt{x} - 3 }{x - 9}$

Pela questão temos que o limite desta função quando x tende a 9, é igual a $\boxed{\bf \frac{1}{6} }$. Logo:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \boxed{\frac{1}{216}}$

Espero ter ajudado.

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