Question

Seja a função f(x) = 3x²+2x+2, podemos afirmar que as derivadas de 1ª e de 2ª ordens são, respectivamente (utilize a derivação pela definição): * 6x + 2 e 6 6x + 2 e 2 3x² + 2x e 3 12x + 6 e 2 3x² + 2x e 8

Answer 1

Olá, bom dia.

Devemos calcular a derivada de primeira e segunda ordens da função $f(x)$ utilizando a definição de derivada por limite.

Seja a função $f(x)=3x^2+2x+2$.

A derivada de primeira ordem de uma função, pela definição, é calculada a partir do limite:

$f'(x)=\underset{h\rightarrow0}\lim ~\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$.

Substituindo a função na definição, teremos:

$f'(x)=\underset{h\rightarrow0}\lim ~\dfrac{3\cdot(x+h)^2+2\cdot(x+h)+2-(3x^2+2x+2)}{h}$

Calcule as potências e multiplique os valores

$f'(x)=\underset{h\rightarrow0}\lim ~\dfrac{3\cdot(x^2+2xh+h^2)+2\cdot(x+h)+2-(3x^2+2x+2)}{h}\\\\\\ f'(x)=\underset{h\rightarrow0}\lim ~\dfrac{3x^2+6xh+3h^2+2x+2h+2-3x^2-2x-2}{h}$

Cancele os termos opostos

$f'(x)=\underset{h\rightarrow0}\lim ~\dfrac{3h^2+6xh+2h}{h}$

Simplifique a fração por um fator $h$

$f'(x)=\underset{h\rightarrow0}\lim ~3h+6x+2$

Calcule o limite da função contínua, utilizando a propriedade: $\underset{x\rightarrow c}\lim~f(x)=f(c)$

$f'(x)=3\cdot0+6x+2\\\\\\\ f'(x)=6x+2$

Esta é a derivada de primeira ordem desta função.

A derivada de segunda ordem pode ser calculada a partir da primeira: lembre-se que $f''(x)=(f'(x))'$. Utilizamos novamente a definição:

$f''(x)=\underset{h\rightarrow0}\lim ~\dfrac{6\cdot(x+h)+2-(6x+2)}{h}$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$f''(x)=\underset{h\rightarrow0}\lim ~\dfrac{6x+6h+2-6x-2}{h}$

Cancele os termos opostos

$f''(x)=\underset{h\rightarrow0}\lim ~\dfrac{6h}{h}$

Simplifique a fração por um fator $h$

$f''(x)=\underset{h\rightarrow0}\lim ~6$

Sabendo que o limite de uma constante é igual a própria constante, teremos:

$f''(x)=6$

Esta é a segunda derivada desta função.

Dessa forma, conclui-se que a resposta correta está contida na letra a).