Question

Seja a função f, quadrática, definida pela sentença:

f(x) = (m-1)x^2+(m^3-1)x+ 2

Determine m para que f admita um valor um valor máximo igual a f(-2).​

Answer 1

Resposta:

Para que o valor de máximo seja em f (-2) temos xv=-2 ("x do vértice") e a <0, ou seja m-1 <0

Portanto m<1.

Sabemos que

$xv = \frac{ - b}{2a}$

Como nesse caso xv=-2, a=(m-1) e b=(m^3 -1) temos

$- 2 = \frac{ - {m}^{3} + 1}{2m - 2} \\ \\ - 4m + 4 = - {m}^{3} + 1 \\ {m}^{3} - 4m + 3 = 0$

Veja que m=1 é uma das raízes dessa equação, pois 1-4+3=0. Então o polinomio é divisível por (m-1).

$\frac{ {m}^{3} - 4m + 3 }{m - 1} = {m}^{2} + m - 3$

As outras raízes desse polinomio são as raízes de m^2 +m-3

$m = \frac{ - 1 + - \sqrt{1 - 4 \times 1 \times ( - 3)} }{2} \\ \\ m = \frac{ - 1 + \sqrt{13} }{2} \: ou \: m = \frac{ - 1 - \sqrt{13} }{2}$

Porém, veja que a raiz quadrada de 13 é maior que 3...

$m = \frac{ - 1 + \sqrt{13} }{2} > 1$

Somente a outra raiz atende a condição de m <1. Então

$m = \frac{ - 1 - \sqrt{13} }{2}$