Question

Seja a função f o conjunto de todos os pares ordenados (x, y) tais que y = x / √x−1. Encontre o domínio e a imagem de f.

Respostas Objetivas:
A)  Domínio é o conjunto dos números reais (R); Imagem é o conjunto do s números reais (R).
B)  Domínio {R}; Imagem {R}.
C)  Domínio são os números reais (R), exceto o -1; Imagem são os números reais (R).
D)  Domínio é o conjunto dos números reais (R) maior ou igual a 1; Imagem é o conjunto dos números reais, exceto o 1.
E)  Domínio é o conjunto dos números reais (R) maiores que 1; A Imagem são os números reais (R) maiores que 0.

Answer 1

Para encontrar o domínio da função você deve verificar se a mesma possui condições de existência, nesse caso ela possui duas condições:

$y = \frac{x}{ \sqrt{x-1} }$

I. O denominador (parte de baixo) de uma fração nunca pode ser 0, portanto:

$\sqrt{x-1} \neq 0$
$\sqrt{x^{2} -1^{2} } \neq 0^{2}$
$x \neq 1$

II. O valor dentro da raiz quadrada tem que sempre ser maior ou igual a zero:

$x-1 \geq 0$
$x \geq 1$

Porém como na condição de existência anterior x é diferente de 1, temos:

$x > 1$

Logo, escreve-se o domínio da função:

D(f) = { x ∈ R | x > 1 }

A imagem da função são as soluções possíveis para ela. De acordo com o domínio, o valor de x deve ser maior que 1, então substituindo x por qualquer valor > 1, verá que o resultado será sempre positivo (y > 0).

Logo, escreve-se a imagem da função:

Im(f) = { y ∈ R | y > 0 }

Alternativa E. Espero ter ajudado (: