Question

Seja a função F:
F (x) = x/π . sen (x/2)

determine:
equação da reta tangente a F em x = π
equação da reta normal a F em x = π

Answer 1

Utilizando definições de derivada primeira e retas, temos que:

Reta tangente: $y=\frac{1}{\pi}x$

Reta normal: $y=-\pi x+\pi^2+1$

Explicação passo-a-passo:

Então temos a função:

$f(x)=\frac{x}{\pi}sen(\frac{x}{2})$

Para encontrarmos a reta tangente, vamos precisar da inclinação da curva neste ponto, então precisaremos da derivada desta função, pois esta nos da a inclinação da curva.

Usando regra do produto para derivar esta função:

$f(x)=\frac{x}{\pi}sen(\frac{x}{2})$

$f'(x)=\frac{1}{\pi}sen(\frac{x}{2})+\frac{x}{2\pi}cos(\frac{x}{2})$

Substituindo x pelo ponto desejado:

$f'(x)=\frac{1}{\pi}sen(\frac{x}{2})+\frac{x}{2\pi}cos(\frac{x}{2})$

$f'(\pi)=\frac{1}{\pi}sen(\frac{\pi}{2})+\frac{\pi}{2\pi}cos(\frac{\pi}{2})$

$f'(\pi)=\frac{1}{\pi}.1+\frac{\pi}{2\pi}.0$

$f'(\pi)=\frac{1}{\pi}$

Assim temos que esta derivada neste ponto é de 1/π.

Sabemos também que esta função em si no ponto x = π, passa pelo ponto em y de :

$f(x)=\frac{x}{\pi}sen(\frac{x}{2})$

$f(\pi)=\frac{\pi}{\pi}sen(\frac{\pi}{2})$

$f(\pi)=1.1=1$

Assim esta função neste ponto passa pelo par ordenado (π,1), ou seja, a reta tangente também tem que passa por este ponto para ser tangente.

Sabemos que toda reta tem forma geral dada por:

$y=Mx+N$

Onde M é a inclinação da reta (que neste caso já sabemos que é 1/pi) e N temos que descobrir:

$y=\frac{1}{\pi}x+N$

Para descobrirmos N, basta substituir x e y pelo ponto que sabemos que a reta tem que passar (π,1):

$y=\frac{1}{\pi}x+N$

$1=\frac{1}{\pi}\pi+N$

$1=1+N$

$N=0$

Assim nossa reta tangente é dada por:

$y=\frac{1}{\pi}x$

A reta normal é muito simples, é a reta perpendicular a própria reta tangente, e sabemos que se temos duas retas e elas são perpendiculares, então os M's (inclinação das duas retas) devem obedecer a seguinte propriedade:

$M_1.M_2=-1$

E como já sabemos o M da tangente, podemso descobrir o da perpendicular:

$\frac{1}{\pi}.M_2=-1$

$M_2=-\pi$

Assim nossa reta perpendicular ficar:

$y=-\pi x+N$

Para descobrirmos o N dela basta substituirmos o ponto que ela tem que passar novamente:

$1=-\pi .\pi+N$

$N=1+\pi^2$

Assim nossa reta normal é:

$y=-\pi x+\pi^2+1$

Assim temos que:

Reta tangente: $y=\frac{1}{\pi}x$

Reta normal: $y=-\pi x+\pi^2+1$