Question

Seja a equação x²+4=0 conjunto Universo U=R onde R representa o conjunto dos números reais, sobre as sentenças: I- A soma das raízes dessa equação é zero;II- O produto das raízes da equação é 4III- O conjunto solução da equação é {-2,+2}.É verdade que: a) Somente a I é falsa;b) Somente a II é falsa;c) Somente a III é falsa;d) Todas são verdadeiras; e) Todas são falsas

Answer 1

Resposta:

(C)

Explicação passo-a-passo:

Olá!

    Há um problema com o enunciado desse exercício. Ele diz que o conjunto universo das soluções desta equação é o conjunto dos números reais. Contudo esta é uma equação que não possui solução real, e você pode verificar isso facilmente fazendo a passagem a seguir:

$x^2+4=0\Leftrightarrow x^2=-4,$

o que é um absurdo nos números reais, pois todo número real não nulo elevado ao quadrado resulta num valor positivo, e chegamos ali que a incógnita x, quando elevada ao quadrado, resulta em um valor negativo  $(-4).$

   Portanto, vamos considerar que estamos no conjunto dos números complexos. Resolvendo a equação, temos:

$x^2+4=0\Leftrightarrow x^2=-4\Leftrightarrow |x|=\sqrt{-4}\Leftrightarrow |x| = \sqrt{4\cdot (-1)}\Leftrightarrow\\\\ \Leftrightarrow x=\pm \;\sqrt{4}\cdot\sqrt{-1}\Left\Leftrightarrow x=\pm\;2i.$

   Daí, a soma das raízes é

$2i+(-2i)=2i-2i=0.$

Enquanto que o produto entre elas é

$2i\cdot(-2i)=-4i^2=-4\cdot(-1)=4.$

   Portanto, o conjunto solução é   $\{-2i,\;2i\},$   a soma das raízes vale zero e o produto delas vale 4 e, assim, a resposta correta é a alternativa (C).

Bons estudos!