Seja a equação polinomial x^3-4x^2+mx+n = 0. Sabendo que 3 é raiz dupla dessa equação, determine os valores da outra raiz e dos coeficientes m e n.
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Olá Igor,
Em uma equação do terceiro grau, tem o formato: ax³ + bx² + cx + d
Sabe-se que a soma das raízes é dada por:
x1 + x2 + x3 = -b/a
E o produto é dado por:
x1 * x2 * x3 = -d/a
Sabemos que 3 é a raiz dupla dessa equação, então podemos adiantar que:
3 + 3 + x3 = -b/a
3 * 3 * x3 = -d/a
Substituindo os dados da equação na fórmula:
3 + 3 + x3 = -(-4)/1
9 + x3 = 4
x3 = 4 - 9
x3 = -5
3 * 3 * x3 = -n/1
9 * (-5) = -n
-45 = -n * (-1)
45 = n
Com o valor de n já podemos achar o valor de m substituindo x por uma de suas raízes:
(3)³ - 4(3)² + m(3) + 45 = 0
27 - 4(9) + 3m + 45 = 0
27 - 36 + 3m + 45 = 0
36 + 3m = 0
3m = -36
m = -36/3
m = -12
Portanto:
m = -12 e n = 45
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Em uma equação do terceiro grau, tem o formato: ax³ + bx² + cx + d
Sabe-se que a soma das raízes é dada por:
x1 + x2 + x3 = -b/a
E o produto é dado por:
x1 * x2 * x3 = -d/a
Sabemos que 3 é a raiz dupla dessa equação, então podemos adiantar que:
3 + 3 + x3 = -b/a
3 * 3 * x3 = -d/a
Substituindo os dados da equação na fórmula:
3 + 3 + x3 = -(-4)/1
9 + x3 = 4
x3 = 4 - 9
x3 = -5
3 * 3 * x3 = -n/1
9 * (-5) = -n
-45 = -n * (-1)
45 = n
Com o valor de n já podemos achar o valor de m substituindo x por uma de suas raízes:
(3)³ - 4(3)² + m(3) + 45 = 0
27 - 4(9) + 3m + 45 = 0
27 - 36 + 3m + 45 = 0
36 + 3m = 0
3m = -36
m = -36/3
m = -12
Portanto:
m = -12 e n = 45
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