Question

Seja a equação exponencial (2^(x)-2^(8-x))/3=2^3. Em qual dos intervalos abaixo, se encontra a solução desta equação?

A) –12 < x < – 6
B) – 6 < x < – 2
C) –2 < x < 3
D) 3 < x < 8
E) 8 < x < 12

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Exidhani, que a resolução é simples, apenas um pouco trabalhosa.
Mas vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Tem-se a seguinte expressão:

[2ˣ - 2⁸⁻ˣ] / 3 = 2³ ---- note que 2³ = 8. Assim, ficaremos:
[2ˣ - 2⁸⁻ˣ] / 3 = 8 ----- multiplicando-se em cruz, teremos:
2ˣ - 2⁸⁻ˣ = 3*8
2ˣ - 2⁸⁻ˣ = 24

Agora note que:

2⁸⁻ˣ = 2⁸ / 2ˣ. ----- Então vamos substituir, com o que ficaremos;

2ˣ - 2⁸ / 2ˣ = 24 ---- mmc, no 1º membro é 2ˣ. Assim, utilizando-o no 1º membro, teremos (lembre-se: toma-se o mmc e divide-se pelo denominador; o resultado que der, multiplica-se pelo numerador):

[2ˣ*2ˣ - 1*2⁸]/2ˣ = 24 ---- note que 2ˣ*2ˣ = 2ˣ⁺ˣ = 2²ˣ. Assim ficaremos:
[2²ˣ - 2⁸]/2ˣ = 24 --- multiplicando-se novamente em cruz, teremos:
2²ˣ - 2⁸ = 24*2ˣ  ---- como 2⁸ = 256, teremos:
2²ˣ - 256 = 24*2ˣ ---- vamos passar todo o 2º membro para o 1º, ficando:
2²ˣ - 256 - 24*2ˣ = 0 --- ordenando, teremos:
2²ˣ - 24*2ˣ - 256 = 0 ---- vamos fazer 2ˣ = y. Note que se 2ˣ = y, então 2²ˣ = y², concorda? Então ficaremos assim:

y² - 24y - 256 = 0 ----- Note: se você aplicar Bháskara vai encontrar as seguintes raízes:

y' = -8
y'' = 32

ii) Mas lembre-se que fizemos 2ˣ = y. Então:

ii.1) Para y = - 8, teremos:

2ˣ = - 8 ---- Impossível. Não existe nenhuma base positiva que, estando elevada a qualquer real, dê um resultado negativo. Logo, descartaremos a raiz para y = - 8.

ii.2) Para y = 32, teremos:

2ˣ = 32 ---- note que 32 = 2⁵. Logo:
2ˣ = 2⁵ ---- como as bases são iguais, então podemos igualar os expoentes. Logo:

x = 5 <--- Este deverá ser o valor de "x".

iii) Agora vamos ao que a questão está pedindo, que é isto: em que intervalo se encontra a solução da equação dada.

Ora, como já vimos que a solução é x = 5, então o intervalo é o que está dado na opção "D", que diz isto:

3 < x < 8 ---- Esta é a resposta. Opção "D".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.

Answer 2

2^x - 2^(8 - x) = 3(2^3)
2^x -  _2^8_ = 24
            2^x
considerando 2^x = M
M - _256_ = 24
          M
M² - 256 = 24M
M² - 24M - 256 = 0
M = _24+-√{(24)² - 4(1)102(-256)}_
                   2(1)
M = _24+-√(576 + 1024)_
                     2
M = _24+-√1600_
                2
M = _24+-40_
            2
M' = _24+ 40_ ⇒ M' = _64_ ⇒ M' = 32
              2                      2
M'' = _24 - 40_ ⇒ M'' = - _16_ ⇒ M'' = -8
                                           2
observando que NÃO existe possibilidade de uma potência de base 2 resultar valor negativo precisamos descartar M = -8
então
2^x = 32 ⇒ 2^x = 2^5 ⇒ x = 5
Resposta: alternativa D)