Question

Se a razão entre os logaritmos de dois números x e y na base 5 é 2, qual é o produto destes números, considerando que a soma deles é 30?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Exidhani, que a resolução é simples, embora um pouco trabalhosa.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se o produto entre dois números "x" e "y", sabendo-se das seguintes informações:

log₅ (x) / log₅ (y) = 2       . (I)

e

x + y = 30      . (II)

ii) Antes de iniciar, veja que existe a seguinte propriedade logarítmica:

logₓ (n) / logₓ (a) = logₐ (n) .

Então a nossa expressão (I), que era esta: log₅ (x) / log₅ (y) = 2, ficará sendo esta:

logᵧ (x) = 2        . (I)


iii) Assim, as expressões (I) e (II), após transformarmos a expressão (I), ficarão sendo estas:

logᵧ (x) = 2      . (I)
e
x + y = 30       . (II)
 

iv) Vamos na expressão (I) e vamos aplicar a definição de logaritmo. A exprssão (I) é esta:

logᵧ (x) = 2      . (I) ----- aplicando a definição de logaritmo, teremos isto:

x = y²         . (III)

v) Agora vamos na expressão (II) e, nela, substituiremos "x' por "y²".
Vamos apenas repetir qual é a expressão (II):

x + y = 30 ---- substituindo-se "x' por "y²", teremos;
y² + y = 30 ----- passando "30" para o 1º membro, teremos:
y² + y - 30 = 0 ---- se você aplicar Bháskara, encontrará as seguintes raízes:

y' = -6
y'' = 5.

Mas note que não existe base logarítmica que seja negativa. Então descartaremos y = -6 e ficaremos apenas com a outra raiz, que é:

y = 5 <--- Este é o valor de "y".

Agora, para encontrar o valor de "x", vamos na expressão (III), que é esta:

x = y² ---- substituindo-se "y" por "5", teremos:
x = 5²
x = 25 <--- Este é o valor de "x".

v) Finalmente, vamos ao que está sendo pedido, que é o valor do produto x*y. Assim, chamando esse produto de "P", teremos:

P = 25*5
P = 125 <--- Esta é a resposta. Ou seja, este é o produto pedido dos números "x" e "y".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

Ok?
Adjemir.