Question

Seja a equação diferencial Y'' - 6Y' + 9Y=0 ,qual sua solução geral?

Answer 1

Começamos por introduzir o operador derivação $\textrm{D}$ tal que:

$\textrm{D}y = y', \textrm{D}^2 = y'', \dots$

A equação diferencial pode ser reescrita na forma:

$y'' - 6y' + 9y = 0 \iff \textrm{D}^2y - 6\textrm{D} + 9y = 0 \iff \left(\textrm{D}^2-6\textrm{D}+9\right)y = 0.$

Fazendo agora $\textrm{D} \to \lambda$, obtemos o polinómio característico:

$p(\lambda) = \lambda^2-6\lambda+9.$

Podemos aplicar o caso notável do quadrado do binómio para determinar os zeros de $p$:

$p(\lambda) = 0 \iff \lambda^2-6\lambda+9 = 0 \iff (\lambda - 3)^2 = 0 \iff \lambda = 3.$

Como $\lambda = 3$ é um zero duplo, as soluções serão geradas pelo conjunto:

$\{\textrm{e}^{3x}, x\textrm{e}^{3x}\},$

ou seja, a solução geral é:

$y(x) = a\textrm{e}^{3x} + bx\textrm{e}^{3x}, \quad \textrm{com } a, b \in\mathbb{R}.$