Question

seja a equação da circunferência definida por x2 + y2 + 2x - 4y - 20 =0, informe as coodenadas do centro O e o raio R​

Answer 1

Resposta:

Círculo de raio r = 5 e centro (-1 , 2).

Explicação passo a passo:

$x^{2} +y^{2}+2x-4y-20=0.$

O primeiro passo é passar o ($-20$) para o outro lado da igualdade com o sinal trocado:

⇒ $x^{2} +y^{2}+2x-4y=20.$

O segundo passo é reorganizar a conta:

⇒ $x^{2} +2x+y^{2}-4y=20.$

Agora precisamos descobrir o número para completar o quadrado do x.

Partiremos do seguinte raciocínio:

Um quadrado da soma é: $(a+b)^{2} = a^{2} +2ab+b^{2}.$

O que temos até agora do nosso x é:

$(x+?_{x})^{2} = x^{2} +2(x)(?_{x})+?_{x} ^{2}.$

Se observarmos um pouco, veremos que $2(x)(?_{x}) = 2x$. O que faz nós percebemos que o $?_{x}$ é igual a 1, e o $?_{x}^{2}$ também é igual a $1^{2}$.

Agora que completamos o quadrado do x, podemos deixar o x de forma reduzida, e DEVEMOS somar o $1^{2}$ que encontramos, do outro lado da equação:

⇒ $(x+1)^{2} +y^{2}-4y=20 +1^{2} .$

Agora, do mesmo método que completamos o quadrado x, vamos completar o quadrado do y.

O que temos até agora do nosso y é:

$(y+?_{y})^{2} = y^{2} +2(y)(?_{y})+?_{y} ^{2}.$

Se observarmos um pouco, veremos que: para que $2(y)(?_{y})$ seja igual ao nosso $-4y$, o nosso $(?_{y})$ deve ser igual (-2). E que o nosso $(?_{y})^{2}$ = $(-2)^{2}$. Agora que completamos o quadrado do y, podemos deixar o y de forma reduzida, e DEVEMOS somar o  $(-2)^{2}$ que encontramos, do outro lado da equação:

⇒ $(x+1)^{2} +(y-2)^{2} =20 +1^{2} +(-2)^{2} .$

⇒ $(x+1)^{2} +(y-2)^{2} =25$.

A equação pode ser reescrita na forma $(x-p)^{2} +(y-q)^{2} =r^{2}$, de forma a representar um círculo com o raio r = 5, e o centro (-1 , 2).

⇒ $(x(-1))^{2} +(y-2)^{2} =5^{2}$.