Question

Seja a cônica de equação :
a) Determine as coordenadas do centro, dos vértices e dos focos;
b) Encontre a equação das retas assíntotas.
c) Faça o esboço do gráfico (use escala de 1uc = 1cm);

Answer 1

a)

A equação é de uma hipérbole. Pela equação, o seu centro é o ponto $C(2,-1)$. Como o denominador de $x$ é maior que o de $y$, concluímos que o eixo focal da cônica é a reta horizontal $y=-1$.

Sendo a equação do tipo $\frac{(x-x_0)^2}{a^2}-\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1$, o valor de $a$ é a distância do centro da cônica aos vértices, logo os vértices são os pontos $A_1(2-a,-1)$ e $A_2(2+a,-1)$. Sendo $a^2=16\therefore a=4\text{ u.c}$, concluímos que os vértices são $A_1(-2,-1)$ e $A_2(6,-1)$.

No caso dos focos, a distância entre eles e o centro é igual a $c$, onde $c^2=a^2+b^2$. Sendo $b^2=4$, concluímos que $c^2=16+4\therefore c=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\text{ u.c}$. Daí tiramos que os focos são $F_1(2-c,-1)$ e $F_2(2+c,-1)$. Substituindo $c$, ficamos com $F_1(2-2\sqrt{5},-1)$ e $F_2(2+2\sqrt{5},-1)$.

b)

As assíntotas são as retas que passam pelo centro da hipérbole e, no caso de hipérboles com eixo focal horizontal, possuem como coeficiente angular $m=\pm b/a$. Temos então que $m=\pm 2/4=\pm1/2$. Temos então a seguinte equação para as retas:

$y-y_0=m(x-x_0)$

$y+1=\pm\frac{1}{2}(x-2)$

$y=-1\pm\frac{1}{2}(x-2)$