Question

Seja a ≤ b. Se c | a e c | b, então podemos afirmar que c | (b − a)?

Answer 1

Na verdade, não é preciso ter $b\ge a$ para $c\,|(b-a)$. Veja:

$c\,|\,b~~\Rightarrow~~existe~k_{1}\in\mathbb{Z}~tal~que~b=k_{1}\cdot c\\\\c\,|\,a~~\Rightarrow~~existe~k_{2}\in\mathbbb{Z}~tal~que~a=k_{2}\cdot c$

Então:

$b-a=k_{1}\cdot c-k_{2}\cdot c=(k_{1}-k_{2})\cdot c$

Ou seja, existe $k_{3}=k_{1}-k_{2}\in\mathbb{Z}$ tal que $b-a=k_{3}\cdot c$. Daí, concluímos que $c\,|\,(b-a)$.

Da mesma forma, $c\,|\,(a-b)$, pois, dado que $c\,|\,(b-a)$, temos que existe $k\in\mathbb{Z}$ tal que $b-a=k\cdot c$. Multiplicando os dois lados por (-1), ficamos com $a-b=(-k)\cdot c=k^{*}\cdot c~~\Rightarrow~~c\,|\,(a-b)$

Em geral, se $x\,|\,y,~x,y\in\mathbb{Z},~x\neq0$, então $x\,|\,(k\cdot y)~~para~todo~k\in\mathbb{Z}$