Question

Seja A (0, 2), B (8, 6) e C (13, – 8), calcule a área do triangulo ABG sabendo que G é o Baricentro do triangulo ABC.

Answer 1

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas em geometria analítica.

Seja um triângulo com vértices nas coordenadas: $(x_0,~y_0),~(x_1,~y_1)$ e $(x_2,~y_2)$. Sua área pode ser calculada pela seguinte fórmula:

$A=\dfrac{1}{2}\cdot\begin{Vmatrix}x_0&y_0&1\\x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\\end{Vmatrix}$

As coordenadas $(x_G,~y_G)$ do baricentro de um triângulo, ainda com vértices nestas coordenadas, pode ser calculado pela seguinte fórmula:

$x_G=\dfrac{x_0+x_1+x_2}{3}$ e $y_G=\dfrac{y_0+y_1+y_2}{3}$.

Então, seja o triângulo $\triangle{ABC}$ com vértices nas coordenadas $A~(0,~2),~B~(8,~6)$ e $C~(13,\,-8)$. Devemos calcular a área do triângulo $\triangle ABG$, em que $G$ é o baricentro deste triângulo.

Primeiro, utilizando a fórmula para calcular as coordenadas do baricentro do triângulo e substituindo as coordenadas de seus vértices, teremos:

$x_G=\dfrac{0+8+13}{3}=\dfrac{21}{3}=7$ e $y_G=\dfrac{2+6+(-8)}{3}=\dfrac{0}{3}=0$

Dessa forma, calculamos as coordenadas do baricentro: $G~(7,~0)$.

Então, substituímos as coordenadas $A,~B$ e $G$ na fórmula descrita ao início da solução para calcularmos a área do triângulo $\triangle ABG$:

$A=\dfrac{1}{2}\cdot\begin{Vmatrix}0&2&1\\8&6&1\\7&0&1\\\end{Vmatrix}$

Para calcularmos o determinante, utilizamos a Regra de Sarrus: consiste em replicar as duas primeiras colunas à direita da matriz e em calcular a diferença entre a soma do produto dos elementos das diagonais principais e a soma do produto dos elementos das diagonais secundárias.

Replicando as colunas, temos:

$A=\dfrac{1}{2}\cdot\left | \begin{vmatrix} 0& 2 &1 \\ 8& 6 & 1\\ 7& 0 & 1\end{vmatrix}\left.\begin{matrix} 0& 2 \\ 8& 6 \\ 7& 0 \end{matrix}\right. \right |$

Aplique a Regra da Sarrus:

$A=\dfrac{1}{2}\cdot|0\cdot6\cdot1+2\cdot1\cdot 7+1\cdot8\cdot0-(2\cdot8\cdot1+0\cdot1\cdot0+1\cdot6\cdot7)|$

Multiplique e some os valores

$A=\dfrac{1}{2}\cdot|0+14+0-(16+0+42)|\\\\\\ A=\dfrac{1}{2}\cdot|14-58|\\\\\\ A=\dfrac{1}{2}\cdot|-44|$

Sabendo que $|x|=\begin{cases}x,~se~x>0\\-x,~se~x<0\\\end{cases}$, calcule o módulo do número

$A=\dfrac{1}{2}\cdot 44\\\\\\\ A=22~\mathbf{u.~a}~~\checkmark$

Esta é a área do triângulo $\triangle ABG$ que buscávamos.