Segundo estimativas da ONU (Organização das Nações Unidas), no ano 2005, a população
mundial, que era de 6,453 bilhões de habitantes, crescia de forma exponencial segundo à função
� = �! ⋅ �!,!"# !
em que �! é a população no tempo t=0, ou seja, no ano de 2005, e t corresponde ao tempo em anos a partir
de 2005.
a) Segundo esta projeção, quantos habitantes nasceriam ao final de um ano?
b) Segundo esta mesma projeção, após quanto tempo a população chegaria a 7 bilhões de habitante e em que
ano isto ocorreria, aproximadamente?
c) Da mesma forma, após quanto tempo a população chegaria a 9 bilhões de habitantes?
Soluções para a tarefa
a) Nasceriam aproximadamente 78 milhões de habitantes.
Para a função =o⋅^(0,012.t), na qual Po é a população em t=0 de 6,453 bilhões de habitantes, a projeção para 1 ano pode ser calculada aplicando o valor de t = 1 na função:
=o⋅^(0,012.t)
P = 6,453 * e^(0,012*1)
P = 6,531 bilhões
Como queremos saber quantos habitantes nasceriam em 1 ano, basta subtrair a população inicial de P calculado:
P - Po = 6,531 - 6,453 = 0,078 bilhões = 78 milhões
P - Po = 78 milhões
b) A população chegaria a 7 bilhões em 2011.
Aplicando o valor de P = 7 bilhões na equação, temos:
7 = 6,453 * e^(0,012*t)
7/6,453 = e^(0,012*t)
Utilizando as propriedades de log, onde ln é o logaritmo na base neperiana, a resolução será:
ln (7/6,453) = (0,012*t)*ln e
ln (7/6,453) = (0,012*t)*1
t =( ln (7/6,453) )/ 0,012
t = 6,78 anos
Portanto, como t = 0 corresponde a 2005, t = 6,78 anos corresponderá a 2005 + 6,78 = 2011,78. Arredondando o valor, a população chegaria a 7 bilhões em 2011.
c) A população chegaria a 9 bilhões de habitantes após 27,72 anos.
Utilizando a mesma lógica do item anterior, temos:
9 = 6,453 * e^(0,012*t)
ln (9/6,453) = 0,012*t
t = 27,72 anos
Logo, o ano seria de 2005 + 27 = 2032, e isso ocorreria após 27,72 anos a partir de 2005.
Espero ter ajudado!