Matemática, perguntado por webertleal, 4 meses atrás

Segundo dados de uma pesquisa, a população de certa região do país vem decrescendo em relação ao tempo $t$ , contado em anos, aproximadamente, segundo a relação:

$P(t)=40000.2^{-0,2t}$

Sendo $P(t)$ a população após $t$ anos, calcule quantos anos se passarão para que essa população fique reduzida à quarta parte da população inicial.

Soluções para a tarefa

Respondido por Vicktoras

Pelos cálculos realizados, podemos afirmar que será necessário 10 anos para que esta redução ocorra.

Explicação:

Temos a seguinte lei de formação:

$\: \: \:\: \: \: \: \: \bf P(t)= 40000\cdot2^{-0,2t}$

O objetivo principal da questão é descobrir quantos anos terão que se passar a para a população atingir a quarta parte da população inicial.

Para iniciar o cálculo, devemos primeiro descobrir a população inicial, isto é, quando o tempo (t) é igual a 0, ou seja, não se passou nenhum ano ainda para que houvesse uma variação na população. Portanto vamos substituir t = 0 e observar o valor obtido para P(0).

$\begin{cases}P(t)= 40000\cdot2^{-0,2t} \: \to \: P(0)= 40000\cdot2^{-0,2.0} \\ \\ P(0)= 40000\cdot2^{0} \: \to \: \boxed{\bf P(0)= 40000 } \end{cases}$

Tendo encontrado a população inicial, vamos descobrir quanto que a quarta parte representa deste valor.

Vale ressaltar que reduzir a quarta parte quer dizer você pegar uma coisa que representa o total e retirar $\boxed{1/4}$ dela.

Portanto, se $\bf P(0) = 40000\\$ representa a população inicial, a quarta parte será este valor divido por 4, e de acordo com o enunciado, isto representará o valor de P(t), então:

$P(t) = \frac{P(0)}{4} \: \to \: \: P(t) = \frac{40000}{4} \\ \\ \bf P(t) = 10000$

Agora que temos o valor da quarta parte da população inicial, vamos substituir na fórmula e encontrar o valor de t.

$P(t) = 40000\cdot2^{-0,2t} \: \: \to \: \: 10000 = 40000.2 {}^{-0,2t} \\ \\ \frac{10000}{40000} = 2 {}^{-0,2t} \: \: \to \: \: \frac{1}{4} = 2 {}^{-0,2t}$

Para resolver esta equação exponencial gerada, vamos utilizar a propriedade de potência, dada por $\boxed{ \bf \frac{1}{a {}^{n} } = a {}^{ - n} }\\$ e também a fatoração do número 2, pois em uma equação exponencial, o objetivo é igualar as bases para que se torne possível resolver.

$\: \: \: \frac{1}{2 {}^{2} } = 2 {}^{-0,2t} \: \to \: 2 {}^{ - 2} = 2 {}^{-0,2t} \: \to \: - 2 = -0,2t \\ \\ t = \frac{2}{ 0,2 } \: \: \to \: \: \boxed{ \bf t = 10 \: anos}$