Question

Segundo Antifão, um polígono regular de 16 lados, inscrito num círculo, ocuparia que proporção da área do círculo?

Answer 1

Uma fórmula pra se calcular a área de um triângulo é $s = a.b.sen\theta$, onde $\theta$ é o ângulo compreendido entre os lados que medem a e b. Inscrevendo o polígono de 16 lados no círculo podemos formar 16 triângulos congruentes onde os vértices são o centro da circunferência, que chamarei de O, e dois vértices consecutivos do polígono, chamados de A e B. Note que $med(A\hat{O}B)= \frac{2\pi}{16} = \frac{\pi}{8}$ e que OA=OB=r; nessas condições, a área do triângulo AOB é $r.r.sen( \frac{\pi}{8})$. A área do polígono de 16 lados, que chamarei de S, vale, então, $S= 16r^{2}.sen( \frac{\pi}{8})$. A razão k entre S e a área do círculo é, então:

$k= \frac{S}{\pi.r^{2}} = \frac{16r^{2}.sen( \pi /8)}{\pi .r^{2}} => k= \frac{16.sen(\pi /8)}{\pi}$